Олимпиада «Физтех»

В классе $13$ мальчиков и $16$ девочек. К Новому Году учительница раздала ребятам конфеты (каждому хотя бы по одной), причём всем мальчикам досталось поровну конфет, и всем девочкам досталось поровну конфет. Оказалось, что существует лишь один способ раздачи (так, чтобы раздать все конфеты). Какое наибольшее число конфет могло быть у учительницы?

Среднее арифметическое шестнадцати различных натуральных чисел равно $21$. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из этих чисел.

Найдите сумму действительных корней всех квадратных трёхчленов вида $y=x^2+px+82$, где $p$ принимает все целые значения от $-11$ до $31$.

На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $N$ и $M$. Отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что площади треугольников $ANP$, $CMP$ и $CPA$ равны соответственно $8$, $10$ и $9$.

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с рёбрами $AD=12$, $AB=7$, $AA_1=7$. Внутри параллелепипеда расположена сфера, касающаяся трёх граней с вершиной $A$ и касающаяся диагонали $B_1D$. Найдите радиус сферы.

На плоскости проведены $3$ семейства по $7$ прямых трёх разных направлений, причём прямые различных направлений пересекаются. Какое наибольшее количество ограниченных областей вырезают они из плоскости?

Найти наибольшее значение выражения $x^3y-3y^2x^2$, если $0\leqslant x\leqslant 3$ и $0\leqslant y\leqslant 3$.

Даны правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ и конус, вершина которого лежит в точке $A$, а окружность основания проходит через точки $B_1$ и $C_1$. Известно, что точки $B$ и $C$ лежат на боковой поверхности конуса. Найдите угол между образующей конуса и его высотой, если $AB=1$, $AB_1=5$. В ответ запишите квадрат тангенса найденного угла.

В клубе собрались $12$ путешественников. Когда зашёл разговор о стране $N$, оказалось, что вместе любые $7$ путешественников побывали во всех городах страны $N$ (то есть каждый город посетил хоть один из этих $7$ путешественников), а любые $6$ — нет (то есть найдётся город, в котором не был ни один из этих $6$ путешественников). При каком минимальном количестве городов в стране $N$ это могло быть?

В депо три пути для формирования составов. Пути расположены с севера на юг. На пути №1 стоит состав из $25$ вагонов. За одну операцию маневрирования тепловоз может перевезти один вагон с любого пути на любой другой путь. Причём он может брать и ставить вагоны только с одной (южной) стороны. За какое наименьшее количество операций тепловоз сможет собрать все вагоны на пути №1 в порядке, обратном исходному?

Пусть $f(n)$ — целое число, ближайшее к числу $\sqrt{n}$. Обозначим $g(n)=\dfrac{1}{f(n)}$. Найдите сумму \[ g(211)+g(212)+\ldots+g(2025). \]