Олимпиада «Физтех»

Сколько существует пар натуральных чисел $x\gt y$ таких, что их произведение на $19999$ больше их суммы?

Найдите сумму действительных корней всех квадратных трёхчленов вида $y=x^2+px+122$, где $p$ принимает все целые значения от $-35$ до $17$.

В параболу $y=0{,}5x^2$ вписан прямоугольный треугольник (то есть все вершины треугольника лежат на параболе), гипотенуза которого параллельна оси $Ox$. Какую наибольшую длину может иметь высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу?

Рассматриваются всевозможные пятизначные числа, в которых цифры $9$, $7$, $3$, $1$, $0$ используются ровно по одному разу. Найдите среднее арифметическое этих чисел. Ответ округлите до целого.

Набор чисел $a$, $b$, $c$ каждую секунду заменяется на $a+b-c$, $b+c-a$, $c+a-b$. В начале имеется набор чисел $1000$, $987$, $998$. Через некоторое время получился набор $4067$, $6115$, $x$. Какое наибольшее значение может принимать $x$?

Лабиринт представляет из себя цепочку из $7$ комнат. Из первых $4$ комнат в следующие ведут $2$ двери, из оставшихся в следующую ведут $3$ двери (из последней комнаты $3$ двери ведут на выход). Лаборант случайным образом запер $10$ дверей. Какова вероятность того, что крыса, посаженная в первую комнату, сможет выбраться из лабиринта? Ответ выразите в процентах и округлите до десятых.

В некоторой стране $65$ городов. Известно, что в любых $30$ городах проживает не менее чем $21\%$ жителей страны. Какой наибольший процент жителей этой страны может проживать в столичном городе?

Точка $D$ — середина стороны $AC$ треугольника $ABC$, $DE$ и $DF$ — биссектрисы треугольников $ABD$ и $CBD$. Отрезки $BD$ и $EF$ пересекаются в точке $M$. Найдите отрезок $DM$, если $EF=6$.

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AC=3$ и $BC=14$. Построим треугольник $A_1B_1C_1$, последовательно переместив точку $A$ на некоторое расстояние параллельно отрезку $BC$ (точка $A_1$), затем точку $B$ — параллельно отрезку $A_1C$ (точка $B_1$) и, наконец, точку $C$ — параллельно отрезку $A_1B_1$ (точка $C_1$). Чему равна длина отрезка $B_1C_1$, если оказалось, что угол $A_1B_1C_1$ прямой и $A_1B_1=2$?

На плоскости проведены $3$ семейства по $6$ прямых трёх разных направлений, причём прямые различных направлений пересекаются. Какое наибольшее количество ограниченных областей вырезают они из плоскости?

В депо три пути для формирования составов. Пути расположены с севера на юг. На пути №1 стоит состав из $25$ вагонов. За одну операцию маневрирования тепловоз может перевезти один вагон с любого пути на любой другой путь. Причём он может брать и ставить вагоны только с одной (южной) стороны. За какое наименьшее количество операций тепловоз сможет собрать все вагоны на пути №1 в порядке, обратном исходному?