Олимпиада «Физтех»

Найдите наименьшее натуральное $x$, при котором из того, что $15m+4n$ делится на 31, следует, что $17m+xn$ также делится на 31 ($m$ и $n$ — натуральные).

Найдите количество целочисленных решений $(x;y;z)$ уравнения $60^x\cdot\left(\frac{500}{3}\right)^y\cdot 360^z=2160$, удовлетворяющих условию $|x+y+z|\leqslant 60$.

Две параболы $y=5x^2+ax+b$ и $y=-4x^2+cx+d$ касаются в точке, лежащей на оси $Ox$. Через точку $D$ — вторую точку пересечения первой параболы с осью $Ox$ — проведена вертикальная прямая, пересекающая вторую параболу в точке $A$, а общую касательную к параболам — в точке $B$. Найдите отношение $BD:AB$.

Известно, что для всех пар положительных чисел $(x;y)$, для которых выполняются равенство $x+y=7$ и неравенство $x^2+y^2\gt 28$, выполняется и неравенство $x^4+y^4\gt m$. Какое наибольшее значение может принимать $m$?

Внутри угла $ABC$, меньшего $135^\circ$, взяты точки $M$ и $N$ так, что $\angle ABM=\angle MBN=\angle NBC$, $AM\perp BM$ и $AN\perp BN$. Прямая $MN$ пересекает луч $BC$ в точке $K$. Найдите $MK$, если $BM=6$, $BK=\sqrt{11}$.

Окружность, проходящая через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $Q$ и $P$ соответственно. Биссектриса угла $ABC$ пересекает отрезок $AP$ в точке $E$ и отрезок $CQ$ — в точке $F$. Найдите длину $AE$, если $QF=6$, $PE=7$, $CF=9$.

Известно, что число $a$ удовлетворяет уравнению $x^3+3x^2+6x-9=0$, а число $b$ — уравнению $x^3+3x^2+6x+17=0$. Найдите наибольшее возможное значение суммы $a+b$.

Дана последовательность $x_n=n(n+1)$. Известно, что разность двух членов этой последовательности с номерами $k$ и $l$ ($l\lt 350\lt k$) делится на $5^9$. Найдите наименьшее возможное значение суммы $l+k$.

В футбольном турнире, проходящем в один круг (каждая команда должна сыграть с каждой ровно по одному разу), играют $N$ команд. В некоторый момент турнира тренер команды $A$ заметил, что любые две команды, отличные от $A$, сыграли разное количество игр. Также известно, что к этому моменту команда $A$ сыграла 15 игр. Какое количество $N$ команд могло участвовать в этом турнире? В ответ запишите сумму всех возможных значений $N$.

На столе лежит 129 внешне одинаковых монет. Известно, что среди них ровно 65 фальшивых. Разрешается указать на любые две монеты и спросить, верно ли, что обе эти монеты фальшивые. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно получить по крайней мере один ответ «Верно»?