Олимпиада «Физтех»

Найдите все значения $p$, при каждом из которых числа $p-2$, $2\sqrt{p}$ и $-3-p$ являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии.

Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, удовлетворяющих уравнению \[ \left|16+6x-x^2-y^2\right|+|6x|=16+12x-x^2-y^2, \] и найдите площадь полученной фигуры.

Найдите значение выражения $\operatorname{tg}20^\circ+4\sin20^\circ$.

В числе $2016{*}{*}{*}{*}02{*}{*}$ нужно заменить каждую из $6$ звёздочек на любую из цифр $0, 2, 4, 5, 7, 9$ (цифры могут повторяться) так, чтобы полученное $12$-значное число делилось на $15$. Сколькими способами это можно сделать?

Найдите все пары положительных чисел $(x,y)$, удовлетворяющих системе уравнений \[ \begin{cases} y-2\sqrt{xy}-\sqrt{\dfrac yx}+2=0,\\ 3x^2y^2+y^4=84. \end{cases} \]

Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника $NPQ$ с основанием $NQ$ описана окружность $\Omega$. Расстояние от середины дуги $PN$, не содержащей точки $Q$, до стороны $PN$ равно $4$, а расстояние от середины дуги $QN$, не содержащей точки $P$, до стороны $QN$ равно $0{,}4$. Найдите радиус окружности $\Omega$ и площадь треугольника $NPQ$.