Олимпиада «Физтех»

Известно, что $\operatorname{tg}(2\alpha-\beta)+6\operatorname{tg}2\alpha+\operatorname{tg}\beta=0$ и $\operatorname{tg}\alpha=2$. Найдите $\operatorname{ctg}\beta$.

Решите неравенство \[ 4x^2+x+9\gt 2\left|4x-2\sqrt x+3\right|+4x\sqrt x. \]

В числе $2*0*1*6*02*$ нужно заменить каждую из $5$ звёздочек на любую из цифр $0, 2, 4, 7, 8, 9$ (цифры могут повторяться) так, чтобы полученное $11$-значное число делилось на $12$. Сколькими способами это можно сделать?

Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, удовлетворяющих уравнению \[ |3x|+|4y|+|48-3x-4y|=48, \] и найдите площадь полученной фигуры.

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^2y-xy^2-3x+3y+1=0,\\ x^3y-xy^3-3x^2+3y^2+3=0. \end{cases} \]

Равнобедренный треугольник $PQT$ с основанием $PQ$ вписан в окружность $\Omega$. Хорды $AB$ и $CD$, параллельные прямой $PQ$, пересекают сторону $QT$ в точках $L$ и $M$ соответственно, и при этом $QL=LM=MT$. Найдите радиус окружности $\Omega$ и площадь треугольника $PQT$, если $AB=2\sqrt{14}$, $CD=2\sqrt{11}$, а центр $O$ окружности $\Omega$ расположен между прямыми $AB$ и $CD$.