Олимпиада «Физтех»

Решите неравенство \[ \log_{\frac{x^2-3}{6x-12}}\frac{(x^2-3)(6x-12)}{25}\geqslant 1. \]

Решите уравнение \[ (\cos 2x-2\cos 4x)^2=9+\cos^2 5x. \]

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} y+\sqrt{y-3x}+3x=12,\\ y^2+y-3x-9x^2=144. \end{cases} \]

Точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ последовательно расположены на прямой, причём $AB=BC=DE=2$, $CD=1$. Окружности $\Omega$ и $\omega$, касающиеся друг друга, таковы, что $\Omega$ проходит через точки $D$ и $E$, а $\omega$ проходит через точки $B$ и $C$. Найдите радиусы окружностей $\Omega$ и $\omega$, если известно, что их центры и точка $A$ лежат на одной прямой.

В числе $2*0*1*6*0*$ нужно заменить каждую из $5$ звёздочек на любую из цифр $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ (цифры могут повторяться) так, чтобы полученное $10$-значное число делилось на $18$. Сколькими способами это можно сделать?

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений \[ \begin{cases} (|y-4|+|x+12|-3)\left(x^2+y^2-12\right)=0,\\ (x+5)^2+(y-4)^2=a \end{cases} \] имеет ровно три решения.

Дана правильная призма $KLMNK_1L_1M_1N_1$ с основанием $KLMN$. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны $L_1N$ и проходят через вершины $K$ и $N_1$ соответственно. Пусть $A$ и $B$ соответственно — точки пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ с диагональю $L_1N$, при этом $AN\lt BN$.
а) Найдите отношение $L_1B:AN$.
б) Пусть дополнительно известно, что сфера радиуса $1/2$ касается всех боковых граней призмы, а также плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Найдите отрезок $L_1N$ и объём призмы $KLMNK_1L_1M_1N_1$.