Олимпиада «Физтех»

Пусть для некоторого $\alpha$ уравнение $ax^2+bx+c=0$ имеет два различных корня $x_1=\cos\alpha$ и $x_2=\sin\alpha$. Какое наименьшее значение может принимать $b$, если $a+2c=\dfrac{9}{a}$?

Петя нарисовал на плоскости прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB=\sqrt{3}$, $AC=4$. Вася последовательно передвигает сначала точку $A$ вдоль прямой, параллельной $BC$, затем точку $B$ вдоль прямой, параллельной (новой) $AC$, а затем $C$ вдоль прямой параллельной (новой) прямой $AB$. Обозначим полученный Васей треугольник $A'B'C'$. Он обнаружил, что $\angle A'B'C'=120^\circ$, а $A'B'=5$. Найдите $B'C'$.

Найдите минимальное значение параметра $a$, при котором система \[ \begin{cases} ax-y+3-4a\geqslant 0,\\ x-2(a-1)y-4\leqslant 0,\\ ax-x-y+3\geqslant 0 \end{cases} \] имеет единственное решение.

Треугольник $ABC$ вписан в окружность радиуса $R$, а $P$ — точка пересечения его биссектрис. Известно, что площадь треугольника $APC$ и площадь четырёхугольника $PFBE$ равны (см. рисунок). Найдите наибольшее значение произведения $AB\cdot BC$, если $\angle ABC=\beta$.

Найдите количество пар таких натуральных чисел $a$ и $b$, что $a$ — трёхзначное, $b$ — четырёхзначное, а их произведение делится на $35$.

На двух параллельных прямых взяты точки $A,B,C,D,X$, как показано на рисунке. Вася нашёл отношение $BC:AD=x$, после чего отметил точки пересечения медиан $P,Q,R$ соответственно треугольников $BAX$, $CDX$ и $AXD$. Петя вычислил площадь треугольника $PQR$: она оказалась равна $S$. Найдите площадь треугольника $AXD$.

Сколькими способами можно добраться от точки $A$ до точки $B$ по линиям сетки, расположенным внутри или на границе представленной на рисунке фигуры, если разрешено двигаться только вправо или вверх?

Найдите количество всех пар натуральных чисел $x,y$, при которых верно равенство \[ \sqrt[3]{10^x}+x^3+3x^2+x+5y=10^{1001}. \]

Каждый из участников школьного кружка, кроме Андрея, дружит с разным числом других участников. Андрей дружит с $9$ из них. Каково наибольшее возможное число школьников в кружке?

Вася придумал функцию $f(x)$ такую, что для любого действительного числа $x$ и для некоторого фиксированного положительного числа $k$ выполняется равенство \[ \left(\sqrt{3}-f(x)\right)f(x+k)=\sqrt{3}f(x)+1. \] При каком наибольшем целом значении $m$ из интервала $(30;50)$ можно утверждать, что \[ f(x+mk)=f(x) \] при всех действительных $x$?