Олимпиада «Физтех»

Пару взаимно простых натуральных чисел $a$ и $b$ назовём забавной, если $|a-b|\lt 5$. Найдите количество забавных пар чисел $(x,y)$ таких, что $60\leqslant x\lt y\leqslant 160$.

Вася написал на доске выражение $31+32+33+\ldots+100$, после чего стёр из него несколько слагаемых (при необходимости вместе с идущими перед ними знаками). Значение получившегося после вычёркивания чисел выражения оказалось равно $4489$. Сколькими способами Вася мог стереть числа с доски?

В остроугольном треугольнике $a,b,c$ — длины сторон, а $\alpha,\beta,\gamma$ — соответственно противолежащие им углы. Какое наибольшее значение может принимать выражение \[ a\left(b^2+c^2\right)\cos(\alpha)+b\left(c^2+a^2\right)\cos(\beta)+c\left(a^2+b^2\right)\cos(\gamma), \] если известно, что $abc=2$?

Вычислите площадь множества точек, координаты которых $(x;y)$ удовлетворяют неравенству \[ |x-1|+|x+1|+2|y|\leqslant 8. \]

На сторонах параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $E,F,G,H,K$ и $L$, как показано на рисунке. Петя соединил некоторые из точек отрезками и раскрасил полученные многоугольники в шахматном порядке. После этого он написал на всех закрашенных многоугольниках, кроме одного, их площади $x_1,\ldots,x_{11}$. Найдите оставшуюся площадь $x_{12}$.

Найдите наибольшее натуральное $k$ такое, что число $6400^{2001}-16^{4002}$ делится на $4^k$.

В окружности $\omega$ проведены три хорды $AB$, $AC$ и $AD$ так, что углы $\angle BAC$ и $\angle DAC$ равны между собой. Найдите хорду $BD$, если $AB=\sqrt{2}$, $AC=3$, $AD=\frac{5\sqrt{2}}{2}$. Ответ округлите до третьего знака после запятой.

Петя записал на доске множество $A$ всех натуральных чисел от $1$ до $100$. Затем Вася для всех непустых подмножеств множества $A$ нашёл средние арифметические входящих в них чисел, после чего сообщил Пете число $x$ — среднее арифметическое всех найденных средних арифметических. Затем Петя заменил в своём множестве $A$ число $10$ на число $1000$, а Вася пересчитал ту же величину $x$ для нового множества. На сколько увеличилось значение $x$?

В пирамиду $SABC$ вписан прямой круговой цилиндр так, что одно основание (с центром $O$) лежит в треугольнике $ABC$, а другое касается граней $SAB$, $SAC$ и $SBC$. Высота пирамиды $SH$ вдвое больше высоты цилиндра. Пусть $M$ — геометрическое место точек $H$, а $N$ — геометрическое место точек $O$. Найдите площадь $M$, если площадь $N$ равна $S$.

Вася задал последовательность $x_n$ следующим образом: $x_0=2$, а для любого натурального $n$ \[ x_n=\left(n^4-2n^2+2\right)\left(\dfrac{x_{n-1}}{n^4-4n^3+4n^2+1}+2\right). \] Чему равно значение $x_{100}$?