Олимпиада «Физтех»

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \sqrt{x^2-2y}=3y-x,\\ \dfrac{81}{4}y^2+x^3=2x+1. \end{cases} \]

Решите уравнение \[ \log_{\mathrm{tg}\,x}(\operatorname{ctg}x-2)+\log_{(\operatorname{ctg}x-2)}\sqrt{\mathrm{tg}\,x}=\dfrac{3}{2}. \]

Решите неравенство \[ \dfrac{10-2|x|}{|x^2+9x+11|-3}\leqslant 1. \]

В параллелограмме $ABCD$ окружность радиуса $1/4$ с центром на отрезке $CD$ проходит через точку $D$ и касается отрезка $BC$ в точке $E$ такой, что угол $BED$ равен $\operatorname{arctg}\frac{4}{3}$. Найдите высоту параллелограмма $DF$, проведённую к стороне $BC$, и длину отрезка $CD$. Найдите площадь параллелограмма, если $AB=BE$.

Найдите все значения параметра $b$, для каждого из которых существует число $\alpha$, такое, что уравнение \[ x^2+(\sin\alpha+3\cos\alpha)x+b=0 \] имеет действительное решение.

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $ABC$ равна $1$, боковое ребро равно $2$. Сфера с центром $O$ на прямой $SA$ касается рёбер $SB$, $SC$ и $BC$. Найдите расстояния от центра сферы до плоскостей $BSC$ и $ABC$, а также радиус сферы.