Олимпиада «Физтех»

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \sqrt{y^2-\dfrac{2x}{y}}=x-y,\\ x^2+\dfrac{2}{y^2}=y^2+1. \end{cases} \]

Решите неравенство \[ \dfrac{2}{\log_{x-1}\left(\frac{5}{2}-x\right)}\leqslant 1. \]

Решите уравнение \[ \sqrt{8\,\mathrm{tg}\,x+22\operatorname{ctg}x}=-\sqrt{15}\,(\sin x+\cos x). \]

В треугольнике $ABC$ окружность радиуса $\frac{13}{3}$ с центром на отрезке $BC$ проходит через точку $B$ и касается отрезка $AC$ в точке $D$ такой, что угол $ADB$ равен $\operatorname{arctg}\frac{3}{2}$. Найдите высоту $BF$ треугольника $ABC$ и длину отрезка $CD$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если длины отрезков $AB$ и $CD$ равны.

Найдите все значения параметра $b$, при которых система уравнений \[ \begin{cases} y=|b-x^2|,\\ y=a(x-b) \end{cases} \] имеет решение при любом значении параметра $a$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $ABC$ равна $1$, боковое ребро равно $2$. Сфера с центром $O$ на плоскости $CDS$ касается рёбер $SA$, $SB$ и $AB$. Найдите расстояния от центра сферы до плоскостей $ABC$ и $ADS$, а также радиус сферы.