Олимпиада «Физтех»
9 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г.
20 задач
Задача 1
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 1; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 1
Находясь в гостях у Кролика, Винни-Пух за первый час съел $40\%$ всего запаса мёда Кролика, а Пятачок и Кролик вместе за это же время съели лишь $300$ граммов мёда. За следующий час Винни-Пух съел $80\%$ оставшегося мёда, а Пятачок и Кролик съели $100$ граммов мёда на двоих. В итоге у Кролика осталось $800$ граммов мёда. Сколько килограммов мёда было у Кролика до визита Винни-Пуха?
Ответ:
Решение:
Задача 2
Стрелок сделал $30$ выстрелов в мишень. За первое попадание ему начислили $13$ баллов, а за каждое следующее попадание начисляли на $0{,}9$ баллов больше, чем за предыдущее. Сколько раз промахнулся стрелок, если он набрал $215{,}4$ балла?
Ответ:
Решение:
Задача 3
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 5
Найдите положительное число $p$, такое, что прямая $y=4x+p$ и координатные оси образуют треугольник, площадь которого равна $72$.
Ответ:
Решение:
Задача 4
Два велосипедиста выезжают одновременно из пунктов $A$ и $B$ навстречу друг другу. После их встречи первый прибывает в пункт $B$ через $16$ минут, а второй прибывает в пункт $A$ через $25$ минут. Сколько минут прошло от начала движения велосипедистов до их встречи?
Ответ:
Решение:
Задача 5
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 4
Задача 6
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 3
Ответ:
Решение:
Задача 7
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 2
Найдите значение выражения \[ \dfrac{1}{a^2-ac-ab+bc}+\dfrac{2}{b^2-ab-bc+ac}+\dfrac{1}{c^2-ac-bc+ab} \] при $a=1{,}67$, $b=1{,}71$ и $c=0{,}46$.
Ответ:
Решение:
Задача 8
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 6
В колбе было $230$ граммов $60\%$-го раствора кислоты. Лаборант отлил из колбы некоторое количество раствора и затем добавил в неё столько же воды, чтобы получить $48\%$-й раствор кислоты. Сколько граммов воды добавил лаборант?
Ответ:
Решение:
Задача 9
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 2; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 7
Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии в $3$ раза меньше суммы последующих пяти её членов. Найдите третий член этой прогрессии, если седьмой член равен $52$.
Ответ:
Решение:
Задача 10
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 14
Точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Известно, что $BC=16$, $CA=55$, $\angle AOB=120^\circ$. Найдите сторону $AB$.
Ответ:
Решение:
Задача 11
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 13
Ответ:
Решение:
Задача 12
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 8
Два велосипедиста выезжают навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми $240$ километров. Если первый выедет на $4{,}5$ часа раньше второго, то он встретит второго велосипедиста через $7{,}5$ часа после своего выезда. Если второй выедет на $1$ час раньше первого, то он встретит первого велосипедиста через $6$ часов после своего выезда. С какой скоростью (в км/ч) едет каждый велосипедист?
Ответ:
Решение:
Задача 13
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 7; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 12
При каком натуральном значении $n$ числа $n$, $n+15$, $46n-30$ являются последовательными членами геометрической прогрессии?
Ответ:
Решение:
Задача 14
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 10; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 15
На некоторой прямой произвольно отмечено $10$ точек, а на параллельной ей прямой — $12$ точек. Сколько существует треугольников и сколько четырёхугольников с вершинами в этих точках?
Ответ:
Решение:
Задача 15
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 18
Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $X$. $M$ — точка пересечения биссектрисы угла $BXD$ с хордой $BD$. Найдите отрезок $BM$, если $BD=27$, а площади треугольников $CXB$ и $AXD$ относятся как $25:16$.
Ответ:
Решение:
Задача 16
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 21
Целые числа $m$ и $n$ таковы, что $4m+5n=mn-9$. Найдите, какое наибольшее значение может принимать $m$.
Ответ:
Решение:
Задача 17
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 16; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 24
Найдите количество прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат, таких, что точка $(14;22)$ содержится внутри (но не на границе) каждого из них, абсциссы вершин являются натуральными числами меньше $29$, а ординаты — натуральны и меньше, чем $31$.
Ответ:
Решение:
Задача 18
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2010/11 уч. г., задача 26
В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB=50$, $BC=21$ и $\cos\angle BAD=3/5$. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $BAD$ и $BCD$.
Ответ:
Решение:
Задача 19
Прямоугольник $57\times34$ разбит прямыми, параллельными его сторонам, на единичные квадратики. На сколько частей в итоге разобьётся прямоугольник, если в нём провести ещё и две диагонали?
Ответ:
Решение:
Задача 20
$19$ депутатов Городского Собрания выбирают Председателя из $5$ кандидатов. Каждый голосует ровно за одного из них. После голосования составляется протокол заседания, в котором указывается лишь количество голосов за каждого кандидата (без указания, кто за кого проголосовал). Сколько различных протоколов может получиться?
Ответ:
Решение: