Олимпиада «Физтех»

Решите уравнение \[ \frac{\sin 3x}{\sin x}-\frac{2\cos 3x}{\cos x}=5|\sin x|. \]

Найдите все пары положительных чисел $(x,y)$, удовлетворяющих системе уравнений \[ \begin{cases} x-3\sqrt{xy}-2\sqrt{\dfrac{x}{y}}+6=0,\\ x^2y^2+x^4=82. \end{cases} \]

Решите неравенство \[ 5^{\frac{x+5}{x+4}}\cdot 3^{x+4}\geqslant 75. \]

Окружность $\omega$ радиуса $4$ с центром $O$ вписана в остроугольный треугольник $EFQ$ и касается его сторон $FQ$ и $EQ$ в точках $M$ и $P$ соответственно. Окружность $\Omega$ радиуса $\sqrt{65}/2$ с центром $T$ описана около треугольника $PQM$.
а) Найдите $OQ$.
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площади треугольника $FTE$ к площади треугольника $EFQ$ равно $2/3$. Найдите длину биссектрисы $QA$ треугольника $EFQ$, а также его площадь.

В числе $2016****02*$ нужно заменить каждую из $5$ звёздочек на любую из цифр $0, 2, 4, 6, 7, 8$ (цифры могут повторяться) так, чтобы полученное $11$-значное число делилось на $6$. Сколькими способами это можно сделать?

Дана система уравнений \[ \begin{cases} \left|9+8y-x^2-y^2\right|+|8y|=16y+9-x^2-y^2,\\ (a+4)x-13y+a=0. \end{cases} \]
а) Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы, и найдите площадь полученной фигуры.
б) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система имеет ровно одно решение.

Дана прямая треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Сфера с диаметром $AC$ пересекает рёбра $AB$ и $BC$ соответственно в точках $F$ и $N$, отличных от вершин призмы. Отрезки $C_1F$ и $A_1N$ пересекаются в точке $P$, и при этом $A_1N=7$, $C_1P=6$.
а) Найдите угол $PFA$.
б) Найдите отношение $AF:FB$.
в) Пусть дополнительно известно, что $AB=6$. Найдите объём призмы.