Олимпиада «Физтех»

Пусть $a$, $b$, $c$ — три попарно различных числа. Для каждой пары из чисел $a$, $b$ и $c$ выписывается приведённый квадратный трёхчлен, корнями которого является эта пара чисел. Обозначим полученные трёхчлены $f_1$, $f_2$, $f_3$. Найдите сумму $S=a^2+b^2+c^2$, если наименьшее значение трёхчлена $f=f_1+f_2+f_3$ равно $-1$, а $f(0)=11$. (Сами числа $a$, $b$ и $c$ не даны.)

Сколько шестизначных числе можно составить из цифр от 0, 1, 2, 3, 7, 8 и 9, чтобы две из этих цифр использовались в записи числа ровно по два раза, а каждая из остальных цифр — не более одного раза?

Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \log_x(5y-x)\cdot\log_y(5x-y)=4,\\ \log_x(5x-y)+\log_y(5y-x)=4. \end{cases} \]

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AN$. Обозначим через $Q$ точку пересечения продолжения высоты $BP$ треугольника $ABC$ за точку $P$ с описанной около этого треугольника окружностью $\omega$. Найдите площадь треугольника $BCQ$, если $BC=24$, углы $\angle BNA$ и $\angle BAC$ равны, а радиус окружности $\omega$ равен 13.

Решите неравенство \[ \left(1-\cos x\cos\dfrac{\pi}{8}\right)^2-\sin^2 x\sin^2\dfrac{\pi}{8}+\left(2\sin 2x-\sqrt{2}\right)^2\leqslant 0. \]

В четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известны длины всех рёбер: \[ AB=BC=CD=DA=5,\ SB=2\sqrt{5},\ SA=SC=3\sqrt{5},\ SD=2\sqrt{10}. \] Сфера $\omega$ с диаметром $SB$ пересекает грани пирамиды по множеству, состоящему из точки $S$ и линии $L$, не содержащей точку $S$. Найдите длину линии $L$.

Найдите все положительные значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} x^2+y^2-2x-6y+6=0,\\ y\bigl(|x|-|x-a|-a\bigr)=2(x-a) \end{cases} \] имеет ровно два решения.