Олимпиада «Физтех»

Известно, что если уменьшить каждый из корней уравнения $x^2+bx+c=0$ на $5$, полученные числа будут корнями уравнения $x^2+cx+b=0$. Какое наименьшее значение может принимать произведение всех четырёх корней этих уравнений?

Сумма пяти подряд идущих двузначных чисел является полным квадратом. Найдите все возможные значения суммы исходных чисел.

В научной лаборатории составляется план запуска решения задач на кластере. За $100$ дней требуется сделать $10$ запусков, а после каждого запуска, кроме последнего, кластер загружен только данной задачей в течение $7$ дней, включая день запуска. При последнем запуске требуется обработать результаты всех предыдущих запусков, на что требуется $8$ дней работы кластера, включая день последнего запуска. Сколькими способами сотрудники лаборатории могут выбрать дни запусков расчётов? Ответ дайте в виде выражения, содержащего не более трёх членов (в них могут входить факториалы, биномиальные коэффициенты).

Высоты $AA_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Луч $BH$ пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точке $P$. Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $AHP$ и $CHP$, если известно, что $BA_1:BC_1=3:4$, а $AH:CH=3:10$.

От пристани $A$ к пристани $B$, расположенной от $A$ вниз по течению, одновременно отправились лодка и байдарка. Километром ниже от $A$ по течению к $B$ отправился также плот. Если сложить времена движения лодки, байдарки и плота до пристани $B$, то получится $22$ часа. Найдите расстояние между пристанями, если известно, что байдарка прибыла к $B$ на $2$ часа раньше лодки, скорости плота, лодки и байдарки являются тремя последовательными членами некоторой арифметической прогрессии, а скорость плота, скорость в стоячей воде лодки и скорость в стоячей байдарки — тремя последовательными членами некоторой геометрической прогрессии.

Угол $A$ ромба $ABCD$ равен $60^\circ$. На продолжениях его сторон $AB$ и $AD$ за точки $B$ и $D$ взяты точки $Q$ и $P$ соответственно так, что прямая $PQ$ проходит через точку $C$. Найдите длину отрезка $BQ$, если $DP=10$, а $DQ:BP=11:10$.

Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} x+\dfrac{y^2}{x}=\max\left(8+\dfrac{6y}{x};\,6-\dfrac{8y}{x}\right),\\ y=ax-9a+8 \end{cases} \] имеет нечётное количество решений.