Олимпиада «Физтех»

Известно, что число $3x-11y$ делится без остатка на число 130. Сколько различных остатков может давать число $4x+20y$ при делении на число 130, если известно, что $x$ и $y$ — целые?

Точка $F$ лежит на катете $KP$ прямоугольного треугольника $KPM$, периметр которого равен 45. Окружность радиуса 5 с центром в точке $F$ касается гипотенузы $PM$ и катета $KM$. Найдите все возможные значения $KM$. Если их несколько, запишите в ответе их сумму.

По шоссе в обоих направлениях с одинаковыми интервалами ходят рейсовые автобусы (скорости движения автобусов одинаковы). Человек бежит по обочине шоссе со скоростью 10 км/ч и замечает, что автобусы навстречу попадаются через каждые $\frac{297}{64}$ километра пути, а автобусы, едущие в том же направлении, в котором он бежит, обгоняют его каждые 40,5 минут. Определите интервал движения автобусов. Ответ выразите в минутах. Считаем, что человек и автобусы движутся равномерно.

Задана функция $f(x)$ такая, что $f(0)=29\,892\,109$, а для любого натурального значения $k$ справедливо равенство $f(0)+f(1)+\ldots+f(k)=(k+1)(3k+1)f(k)$. Найдите $f(2021)$.

За круглый стол сели 165 магистров двух орденов: ордена Лжецов (они всегда лгут) и ордена Рыцарей (они всегда говорят правду). Хотя бы по одному магистру из каждого ордена есть. Какое наибольшее число из сидящих за столом могло сказать: «Через 5 человек от меня есть магистр из ордена Рыцарей»?