Олимпиада «Физтех»

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом при вершине $B$ проведены биссектрисы $AP$ и $CQ$. Точки $M$ и $N$ — проекции точек $Q$ и $P$ на сторону $AC$ соответственно. Найдите $MN$, если расстояние от вершины $B$ до центра окружности, вписанной в треугольник $ABC$, равно $17\sqrt{2}$.

У Васи есть карточки с числами $2000, 2001, \ldots, 2051, 2052$ (на каждой карточке записано ровно одно число; есть ровно одна карточка с каждым из указанных чисел). Сколькими способами он может выбрать $4$ карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных делилась на $3$?

Найдите количество пар целых чисел $x$ и $y$, удовлетворяющих соотношению \[ \frac{7}{x}-\frac{6}{y}=\frac{1}{1008}. \]

Дана клетчатая прямоугольная доска размером $10\times 12$. За один ход фишку можно передвинуть либо на одну клетку вправо, либо на одну клетку вверх. Сколькими способами можно переместить фишку из левого нижнего угла доски (клетка с координатами $(1;1)$) в правый верхний угол (клетка с координатами $(10;12)$), если в процессе движения нельзя занимать клетку с координатами $(3;9)$?

За круглый стол сели $70$ магистров двух орденов: ордена Лжецов (они всегда говорят правду). Каждому из них дали карточку, на которой написано натуральное число (все числа на карточках различны). Каждый из сидящих за столом сравнил своё число с числами на карточках соседей и сказал: «У меня число больше, чем числа у каждого из двух моих соседей». Какое наибольшее количество из сидящих за столом после этого может сказать: «У меня число меньше, чем числа у каждого из двух моих соседей».