Олимпиада «Физтех»

При каком наименьшем натуральном $n$ число \[ n!+(n+1)!+(n+2)! \] делится на $361$?

Из суммы квадратов пяти последовательных натуральных чисел вычли число $10$ и получили куб натурального числа $N$, большего $6$. Найдите наименьшее возможное значение $N$.

Решите неравенство \[ \left|\sqrt{x^2-2x-3}+6\right|\geqslant\left|\sqrt{x^2-2x-3}+2x-1\right|+|7-2x|. \]

На координатной плоскости рассматриваются ромбы с длиной стороны $5$ такие, что абсциссы и ординаты всех четырёх вершин каждого ромба — целые числа из промежутка $[1;50]$. Сколько существует таких ромбов? Напомним, что квадрат также является ромбом.

Найдите все пары целых чисел $(x;y)$, удовлетворяющих уравнению \[ 19\cdot 2^x+2025=y^2. \]

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых для множества точек плоскости $Oxy$, задаваемых уравнением \[ x^2+y^2=a^2, \] наибольшее значение выражения $x^2-6x+a$ равно $8$.

На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $M$ и $N$ соответственно так, что $\angle MNB=\angle ANC=80^\circ$. Найдите $\angle CAN$, если известно, что $BN\cdot MA=2BM\cdot NC$.