Олимпиада «Физтех»

Даны квадратный трёхчлен $f(x)$ и линейная функция $\ell(x)$ такая, что $\ell(1)=2$. Известно, что функция $g(x)=f\bigl(\ell(x)\bigr)-\ell\bigl(f(x)\bigr)$ принимает все действительные значения и $g(0)=5$. Найдите $f(1)$, если $f(0)=7$.

Сколько $6$-значных чисел можно составить из цифр $1, 2, 3, 4, 5, 8$ и $9$, чтобы две из этих цифр использовать в записи числа по два раза, а остальные цифры — не более одного раза?

В четырёхугольник $ABCD$ можно вписать окружность. Пусть точка $I$ — центр этой окружности. Прямые $a_C$ и $a_D$, проведённые соответственно через точку $C$ параллельно $BI$ и через точку $D$ параллельно $AI$, пересекаются в точке $P$. Найдите $\angle DPI$, если $\angle BCD=100^\circ$.

Найдите количество упорядоченных пар натуральных чисел $(a,b)$ таких, что $\text{НОК}(a,b)=16!$ и $\text{НОД}(a,b)=30$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AD$ и $CE$, которые пересекаются в точке $H$. Вокруг треугольника $DHE$ описана окружность $\omega$. Касательные к $\omega$ в точках $D$ и $E$ пересекаются в точке $K$. Найдите длину отрезка $AK$, если радиус $\omega$ равен $10$ и $\angle ABC=60^\circ$.

При каких значениях параметра $a$ система уравнений \[ \begin{cases} |x|-|x-y|=2x-y,\\ x^2+y^2+8y=a \end{cases} \] имеет ровно два решения?

Решите систему \[ \begin{cases} \dfrac{x^7+y^7}{z^3}+\dfrac{y^7+z^7}{x^3}+\dfrac{z^7+x^7}{y^3}=2(xy)^2+2(yz)^2+2(zx)^2,\\ (\sqrt{yz}-2)(\sqrt{zx}-4)\leqslant 0. \end{cases} \]