Олимпиада «Ломоносов»

Когда автомобиль едет из пункта $A$ в пункт $B$, он тратит $25\%$ времени на путь в гору, $60\%$ — по равнине, а остальное время — с горы. Время его движения из $A$ в $B$ и по той же дороге из $B$ в $A$ одинаково, а его скорости в гору, с горы и по равнине постоянны, но различны. Во сколько раз быстрее автомобиль едет с горы, чем в гору?

Решите уравнение \[ \sqrt{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}} = 2\sqrt{\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}}+\sqrt2. \]

Выясните, какое из чисел больше: $11^{\lg 121}$ или $10\cdot 10^{\lg^2 11}+11$.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Касательные к этой окружности, проведённые в точках $A$ и $C$, пересекаются на прямой $BD$. Найдите сторону $AD$, если $AB=2$ и $BC:CD=4:5$.

Вычислите $\sqrt{n}+\sqrt{n+524}$, если известно, что это число рациональное и что $n$ — натуральное.

В прямой круговой конус, радиус основания которого равен $2$, вписан шар. Найдите объём этого шара, если он в три раза меньше объёма конуса.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых ровно одно из следующих двух утверждений является истинным:\ 1) «Уравнение $\cos(\cos x)+\sin(\sin x)=a$ имеет ровно два корня на отрезке $[0;\pi]$»;\ 2) «Уравнение $\sin^4 x+\cos^4 x+\sin 2x=a$ имеет корни».

Рассматриваются всевозможные наборы, которые состоят из $2017$ различных натуральных чисел и в каждом из которых ни одно из чисел нельзя представить в виде суммы двух других чисел этого набора. Какое наименьшее значение может принимать наибольшее число в таком наборе?