Олимпиада «Ломоносов»

На каком из пяти интервалов, на которые разбивают числовую ось четыре точки \[ x^5\lt y^8\lt y^3\lt x^6, \] лежит число $0$?

Какое из чисел больше: \[ \underbrace{\sqrt{17\sqrt{13\sqrt{17\sqrt{13\sqrt{17\ldots}}}}}}_{2018\text{ знаков корня}}\quad\text{или}\quad 17\sqrt[3]{\dfrac{13}{17}}\,? \]

В треугольнике $ABC$, площадь которого равна $20$, проведена медиана $CD$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если известно, что $AC=\sqrt{41}$, а центр окружности, вписанной в треугольник $ACD$, лежит на окружности, описанной около треугольника $BCD$.

Архив фотографий укладывают в порядке их нумерации в одинаковые альбомы, ровно по $4$ фотографии на одну страницу. При этом $81$-я по счёту фотография попала на $5$-ю страницу одного из альбомов, $171$-я — на $3$-ю страницу другого. Сколько фотографий вмещает каждый альбом?

Решите неравенство \[ \arcsin\Bigl(\dfrac{5}{2\pi}\arccos x\Bigr)\gt \arccos\Bigl(\dfrac{10}{3\pi}\arcsin x\Bigr). \]

Найдите все такие наборы чисел $x_1,x_2,\ldots,x_{n+1}$, что $x_1=x_{n+1}$ и при всех $k=1,\ldots,n$ выполнено равенство \[ 2\log_2 x_k\cdot\log_2 x_{k+1}-\log_2^2 x_k=9. \]

Найдите наибольшее значение функции \[ f(x)=\sin(x+\sin x)+\sin(x-\sin x)+\Bigl(\dfrac{\pi}{2}-2\Bigr)\sin\sin x. \]

Андрею нравятся все числа, не делящиеся на $3$, а Тане нравятся все числа, в которых нет цифр, делящихся на $3$.\ а) Сколько четырёхзначных чисел нравятся и Андрею, и Тане?\ б) Найдите общую сумму цифр всех таких четырёхзначных чисел.