МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Решить уравнение \[ \frac{\operatorname{ctg}x-\operatorname{tg}x}{3\sin x+\cos 2x}=\operatorname{ctg}2x. \]

Решить неравенство \[ 3^x\left(\sqrt{9^{1-x}-1}+1\right)\lt 3\left|3^x-1\right|. \]

Даны треугольник $ABC$ и ромб $BDEF$, все вершины которого лежат на сторонах треугольника $ABC$, а угол при вершине $E$ — тупой. Найти площадь треугольника $ABC$, если $AE=3$, $CE=7$, а радиус окружности, вписанной в ромб, равен $1$.

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB:BC=2:3$. Точки $F$ и $F_1$ — середины ребер $BC$ и $B_1C_1$ соответственно. Сфера касается всех звеньев ломаной $AFDD_1A_1$ и пересекает отрезок $F_1F$ в точках $F_1$ и $E$. Найти объем параллелепипеда и радиус сферы, если $F_1E=3/2$.

Корни уравнения \[ x^3-\frac{32}{p}x^2+\frac{5}{\sqrt p}x-\frac{15}{64}=0 \] являются длинами сторон некоторого треугольника, а корни уравнения \[ x^3-\frac13\left|\log_2p\right|x^2+\left(\log_{8\sqrt2p}p\right)x-\frac{1}{11+\sqrt p}=0 \] — длинами высот этого же треугольника. Найти $p$ и площадь треугольника.