МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

При каких $x$ числа $\arccos\left(4^{-x}/\sqrt2\right)$ и $\operatorname{arcctg}\left(2\cdot4^x-3\right)$ являются величинами двух углов прямоугольного треугольника?

Решить неравенство \[ \log_{2|x|+1}(3x+2)-\log_{3x+2}(2|x|+1)\gt 0. \]

Медиана $AM$ и биссектриса $CD$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle B=90^\circ$) пересекаются в точке $O$. Найти площадь треугольника $ABC$, если $CO=9$, $OD=5$.

Найти все значения параметра $\alpha$, $-\pi\lt \alpha\lt \pi$, при которых система уравнений \[ \begin{cases} (1-4x^2-4y^2)(4x^2+15-12y)=0,\\ y\cos\alpha+x\sin\alpha=\dfrac12 \end{cases} \] имеет ровно три решения.

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды $SABC$ имеет длину $11/5$ и составляет с плоскостью основания $ABC$ угол, равный $\operatorname{arctg}\left(5\sqrt2/4\right)$. Цилиндр расположен так, что окружность одного из его оснований проходит через середину ребра $AC$ и не пересекает грань $SAB$. Ортогональные проекции цилиндра на плоскости $SAB$ и $SBC$ — прямоугольники с общей вершиной в точке $S$. Найти объем цилиндра.