МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Решить неравенство \[\sqrt{x^2+5x+6}\lt 1+\sqrt{x^2+x+1}.\]

Решить уравнение \[\dfrac{\cos 4x+\cos 3x+\cos 2x+\cos x}{\sin 4x+\sin 3x+\sin 2x+\sin x}=\dfrac{\sqrt{2}\,\left|1-2\sin^2 x\right|}{\sin x\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}.\]

Окружность $C_1$ радиуса $2\sqrt{6}$ с центром $O_1$ и окружность $C_2$ радиуса $\sqrt{6}$ с центром $O_2$ расположены так, что $O_1O_2=\sqrt{70}$. Прямая $l_1$ касается окружностей в точках $A_1$ и $A_2$, а прямая $l_2$ — в точках $B_1$ и $B_2$. Окружности $C_1$ и $C_2$ лежат по одну сторону от прямой $l_1$ и по разные стороны от прямой $l_2$, $A_1\in C_1$, $B_1\in C_1$, $A_2\in C_2$, $B_2\in C_2$, точки $A_1$ и $B_1$ лежат по разные стороны относительно прямой $O_1O_2$. Через точку $B_2$ проведена прямая $l_3$, перпендикулярная прямой $l_2$. Прямая $l_1$ пересекает прямую $l_2$ в точке $A$, а прямую $l_3$ — в точке $B$. Найти $A_1A_2$, $B_1B_2$ и стороны треугольника $ABB_2$.

Апофема правильной пирамиды $SABCD$ равна 2, боковое ребро образует с основанием $ABCD$ угол, равный $\mathrm{arctg}\sqrt{\dfrac{3}{2}}$. Точки $E$, $F$, $K$ выбраны соответственно на ребрах $AB$, $AD$ и $SC$ так, что $\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AF}{FD}=\dfrac{SK}{KC}=\dfrac{1}{2}$. Найти:
1) площадь сечения пирамиды плоскостью $EFK$;
2) расстояние от точки $D$ до плоскости $EFK$;
3) угол между прямой $SD$ и плоскостью $EFK$.

Найти все $a$, при которых уравнение \[\log_5\left(x+\sqrt{2-a}\right)+\log_{\frac{1}{5}}(a-1-x)=\log_{25}9\] имеет решение.

Решить систему уравнений \[\begin{cases}5x-6y+4z+xy=0,\\ 3x-5y+z-y^2=0,\\ x-4y-2z-yz=0.\end{cases}\]