Московская математическая олимпиада

Известно, что сумма любых двух из трёх квадратных трёхчленов $x^2+ax+b$, $x^2+cx+d$, $x^2+ex+f$ не имеет корней. Может ли сумма всех этих трёхчленов иметь корни?

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=a$ и $BC=b$. Точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $CD$ соответственно, причём отрезок $MN$ параллелен основаниям трапеции. Диагональ $AC$ пересекает этот отрезок в точке $O$. Найдите $MN$, если известно, что площади треугольников $AMO$ и $CNO$ равны.

Можно ли, применяя к числу $2$ функции $\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$, $\mathrm{ctg}$, $\arcsin$, $\arccos$, $\mathrm{arctg}$, $\mathrm{arcctg}$ в любом количестве и в любом порядке, получить число $2010$?

Сумма цифр числа $n$ равна $100$. Может ли сумма цифр числа $n^3$ равняться $1003$?

В неравнобедренном треугольнике две медианы равны двум высотам. Найдите отношение третьей медианы к третьей высоте.

На плоскости отметили $4n$ точек, после чего соединили отрезками все пары точек, расстояние между которыми равно $1$ см. Оказалось, что среди любых $n+1$ точек обязательно есть две, соединённые отрезком. Докажите, что всего проведено не менее $7n$ отрезков.