Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Найдите все значения $x$, при каждом из которых выражения \[\log_{2013}\left(\sqrt{1+\operatorname{tg}^2x}+\operatorname{tg}x\right)\quad\text{и}\quad\log_{2012}\left(\sqrt{1+\operatorname{tg}^2x}-\operatorname{tg}x\right)\] равны друг другу.

Точки $M$ и $N$ делят сторону $AC$ треугольника $ABC$ на три части, каждая из которых равна 2, причём $AB\perp BM$, $BC\perp BN$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

Решите неравенство \[4x+2+\sqrt{4-x}\gt x^2+\sqrt{x^2-5x+2}\,.\]

Найдите множество значений выражения $x-y+1$ при условии \[(x-y)^2=2\,|2y-x|+x+15.\]

Прямоугольный треугольник называется пифагоровым, если длины всех его сторон — натуральные числа. Найдите наибольшее целое число, на которое делится произведение длин сторон любого пифагорова треугольника.