Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Решите уравнение \[ \left(1+x+x^2\right)\left(1+x+x^2+\ldots+x^{10}\right)=\left(1+x+x^2+\ldots+x^6\right)^2. \]

Две арифметические прогрессии содержат по 2015 членов каждая. Отношение последнего члена первой прогрессии к первому члену второй равно отношению последнего члена второй прогрессии к первому члену первой и равно 4. Отношение суммы всех членов первой прогрессии к сумме всех членов второй равно 2. Найдите отношение разностей этих прогрессий и приведите пример таких прогрессий.

Решите систему \[ \begin{cases} \mathrm{tg}^2\,\pi(x-y)+\mathrm{ctg}^2\,\pi(x-y)=\sqrt{\dfrac{2x}{x^2+1}}+1, \\ x^2+y^2\leqslant 10. \end{cases} \]

Плоскость проходит через точку $K$, лежащую на ребре $SA$ пирамиды $SABC$, и делит биссектрису $SD$ грани $SAB$ и медиану $SE$ грани $SAC$ пополам. В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды, если $SK:KA=SA:SB=2$?

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[ 25^{-|x-a|}\log_{\sqrt[5]{7}}(x^2-2x+3)+5^{-x^2+2x}\log_{\frac17}(2|x-a|+2)=0 \] имеет ровно три различных решения.