Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Решите уравнение \[ 1-\sqrt2\sin x(\cos x+2\sin x)+\sqrt2\cos x(2\cos x-\sin x)=2\cos^2\left(x-\frac{\pi}{8}\right). \]

Из пункта $A$ в пункт $B$ по одной дороге с постоянными скоростями выехали велосипедист и мотоциклист. Один из них выехал в 13:00, а другой на час позже, при этом в пункт $B$ они прибыли одновременно, хотя один из них сделал остановку в пути длительностью 2 часа. В котором часу они прибыли в $B$, если скорость мотоциклиста в два раза больше скорости велосипедиста?

Числа $x_1$, $x_2$, $x_3$ являются корнями уравнения $x^3-6x^2+7x-1=0$. При каких значениях $a$, $b$, $c$ корнями уравнения $x^3+ax^2+bx+c=0$ являются числа $x_1+x_2$, $x_2+x_3$ и $x_3+x_1$?

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ равны и перпендикулярны. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AB=\sqrt{13}$.

Для натурального числа $N$ выписали все его натуральные делители $p_l$ в порядке возрастания: $1=p_1\lt p_2\lt \ldots\lt p_k=N$. Обозначим количество натуральных делителей числа $N$ через $\sigma(N)$. Найдите все возможные значения $\sigma(N^3)$, если известно, что \[ p_3\cdot p_4\cdot p_{1876}\cdot p_{1877}\geqslant N^2. \]