Олимпиада «Росатом»

Найти наибольшее значение выражения $x-2y$ для $(x;y)$, удовлетворяющих уравнению $4x^2+9y^2=25$.

Найти все решения $(x;y)$ уравнения $(2\sin(x+y)+3)(\cos(2x-y)-1)=-10$, лежащие на прямой $6x+5y=15\pi$.

Найти зависимость от $n$ числа целых неотрицательных решений уравнения \[ x_1+x_2+\ldots+x_n=m \] при $m=2$ и $m=3$. При каком $n$ число решений для $m=3$ будет в четыре раза большим, чем число решений для $m=2$?

В гостиной находится двое часов с боем, показывающих разное время. Каждый час они производят звуковые сигналы в количестве, на которое указывает часовая стрелка, при этом минутная стрелка направлена на 12. Интервал между сигналами для первых часов 3 сек., для вторых — 4 сек. Часы начали и закончили бой одновременно. Петя, находясь в соседней комнате, насчитал 13 ударов, принимая совпадающие сигналы за один. Какое время показывали первые и вторые часы в момент первого удара боя? Продолжительность одного сигнала мала и ее можно не учитывать, качество сигнала у обоих часов одинаковое.

Для всех целых $k\lt 0$ найти целые решения $x$ и $y$ системы уравнений \[ \begin{cases} x^2+xy^2-ky^2=0,\\ x^2-xy+ky^2=0. \end{cases} \]

Волк окружен собаками, расположенными в точках $M$, $N$, $P$ и $Q$ на сторонах квадрата $ABCD$, $M\in[A;B]$, $N\in[B;C]$, $P\in[C;D]$, $Q\in[D;A]$ так, что $AM:MB=BN:NC=CP:PD=DQ:QA=1:3$. Волк, находящийся внутри квадрата в точке пересечения прямых $MP$ и $NQ$, может бежать со скоростью $v_{\text{в}}$ по прямой в любом направлении. Собаки бегают только по сторонам квадрата со скоростью, не превосходящей $v_{\text{с}}$. Волк может вырваться из окружения, если на границе квадрата встретит не более одной собаки. При каких значениях отношения $v_{\text{с}}/v_{\text{в}}$ волк имеет шанс спастись?