Олимпиада «Росатом»

Для каждой пары целых, положительных чисел $(m,n)$, связанных соотношением \[ 3m+2n=19, \] найти решение $x$ уравнения \[ 2^{r_n x}+r_m\cdot 2^x-8=0, \] где $r_k$ — остаток от деления $k$ на 3.

Найти все $x$, для которых \[ \sin a_n x+\sin a_{n+1}x+\sin a_{n+2}x=0 \] при всех $n$, где $a_n$ — арифметическая прогрессия с разностью $d=\pi/10$ и первым членом $a_1=\pi/2$.

Сколько существует различных, целых, положительных, двенадцатиразрядных чисел, делящихся на 9, в записи которых используется две цифры 3 и 4?

Случайно выбранное шестизначное целое положительное число оканчивается на 32. Найти вероятность того, что оно делится на 14.

При каких значениях $a$ система \[ \begin{cases} 2[x]-3[y]=7,\\ 3x+2y=a \end{cases} \] имеет единственное решение? Здесь $[z]$ — целая часть числа $z$ — наибольшее целое число, не превосходящее $z$.

Через ребро $AB$ основания правильной четырехугольной пирамиды $EABCD$ проведена плоскость $P$, пересекающая ребра $EC$ и $ED$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Плоскость $P$ делит объем пирамиды в отношении $V_{EABMN}:V_{EABCD}=5:9$. Найти отношение площадей полных поверхностей пирамид $S_{EABMN}:S_{EABCD}$, если боковые грани пирамиды $EABCD$ наклонены к плоскости основания $ABCD$ под углом $\alpha=\operatorname{arctg}5$.