Олимпиада «Росатом»

При каких натуральных $n$ уравнение $\log_2 x+\log_2 x^3+\log_2 x^5+\ldots+\log_2 x^{2n-1}=5040$ имеет рациональное решение?

Найти наибольшее значение выражения $|x|+|y|+|z|$ для троек $(x;y;z)$, удовлетворяющих системе \[ \begin{cases} \sin x\cdot\sin(x+y)\cdot\sin(x+y+z)=0,\\ x^2+y^2+z^2=\dfrac{\pi^2}{3}. \end{cases} \] Найти тройки $(x;y;z)$, для которых наибольшее значение достигается.

Целые числа $2a^2$ и $3a$ имеют одинаковые остатки при делении на 18. Какие ненулевые остатки может иметь число $a\gt 0$ при делении на 18?

Через случайно выбранные три вершины куба с ребром 2 проводится плоскость. Найти вероятность того, что площадь сечения превзойдет 5. Допускается, что эти вершины принадлежат одной грани куба.

Целое число $n$ таково, что $\cos\dfrac{(2n^2+n+1)\pi}{2}=1$, а уравнение $\sin x\cdot\sin 5x\cdot\sin nx=1$ имеет решение. Найти все такие $n$.

Две параллельные прямые, расстояние между которыми 1, пересекают прямоугольник размерами $3\times 5$ под углом $\alpha=\operatorname{arctg}\frac34$ к его стороне. Найти максимальное возможное значение суммы длин отрезков этих прямых, принадлежащих прямоугольнику.