Олимпиада «Шаг в будущее»

В детской игре шарик может двигаться по желобкам, которые являются ребрами квадратов со стороной 1 дм, и которые вместе составляют прямоугольную сеть размера 3 дм на 4 дм (см. рис.). Какова длина кратчайшего пути шарика из точки $A$ в точку $B$? Сколько существует различных путей этой минимальной длины?

Монолитный блок типа $A$ весит 17 кг, а монолитный блок типа $B$ — 7 кг. Можно ли из этих блоков сформировать груз, равный максимальной грузоподъемности крана, которая составляет 317 кг? Если да, то какое наибольшее количество блоков при этом будет поднимать кран?

Решите уравнение $\sqrt{(x+1)^2}+2\sqrt{x^2+4x+4}=|10+x|-|5-2x|$.

Решите неравенство $x^2+2x+2x\sqrt{3-x^2}\gt 3-6\sqrt{3-x^2}$.

Найдите все значения параметр $a$, при которых уравнение \[ \dfrac{8+2a(x-2)}{|x|+x}=\sqrt{4-2a+ax} \] имеет хотя бы одно решение. Укажите эти решения для всякого найденного $a$.

Окружность радиуса 2, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $BC$ в точке $D$. Окружность радиуса 4 касается продолжения сторон $AB$ и $AC$, а также стороны $BC$ в точке $E$. Найдите площадь треугольника $ADE$, если величина угла $ACB$ равна $120^\circ$.