Всероссийская олимпиада школьников по математике

В клетках квадрата $3\times3$ записаны буквы (см. рисунок). Можно ли их расставить так, чтобы любые две буквы, исходно отстоявшие на ход коня, после перестановки оказались в клетках, отстоящих на ход короля? (Например, из клетки с буквой $a$ конь может пойти в клетки с буквами $f$ и $h$, а король — в клетки с буквами $b$, $d$ и $e$.)

$a$	$b$	$c$
$d$	$e$	$f$
$g$	$h$	$i$

Каково наибольшее количество последовательных натуральных чисел, у каждого из которых ровно четыре натуральных делителя (включая 1 и само число)?

В остроугольном треугольнике $MKN$ проведена биссектриса $KL$. Точка $X$ на стороне $MK$ такова, что $KX=KN$. Докажите, что прямые $KO$ и $XL$ перпендикулярны ($O$ — центр описанной окружности треугольника $MKN$).

Даны три квадратных трёхчлена: $x^2+b_1x+c_1$, $x^2+b_2x+c_2$ и $x^2+\frac{b_1+b_2}{2}x+\frac{c_1+c_2}{2}$. Известно, что их сумма имеет корни (возможно, два совпадающих). Докажите, что хотя бы у двух из этих трёхчленов также есть корни (возможно, два совпадающих).

В турнире участвовали 50 шахматистов. В некоторый момент турнира была сыграна 61 партия, причем каждый участник сыграл либо две партии, либо три (и никто не играл друг с другом дважды). Могло ли оказаться так, что никакие два шахматиста, сыгравшие по три партии, не играли между собой?

Через точку $P$ проведены три отрезка, параллельные сторонам треугольника $ABC$ (см. рисунок). Докажите, что площади треугольников $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ равны.