Всероссийская олимпиада школьников по математике

На какое наименьшее число клетчатых прямоугольников можно разрезать фигуру на рисунке ниже? (Каждый прямоугольник должен состоять из одной или нескольких клеток фигуры.)

Сколько корней имеет уравнение \[\overbrace{f(f(\ldots f}^{10\text{ раз } f}(x)\ldots))+\dfrac{1}{2}=0,\] где $f(x)=|x|-1$?

Антон выписал на доску три натуральных числа $a$, $b$ и $c$. А Ира нарисовала на доске три прямоугольника $a\times b$, $a\times c$ и $b\times c$. Оказалось, что разность площадей какой-то пары прямоугольников равна 1, а разность площадей другой пары прямоугольников равна 49. Чему может быть равно $a+b+c$? Укажите все возможные варианты.

Равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ такова, что $\angle ADC=2\angle CAD=82^\circ$. Внутри трапеции выбрана точка $T$ так, что $CT=CD$, $AT=TD$. Найдите $\angle TCD$. Ответ дайте в градусах.

Целые числа $a$ и $b$ таковы, что у квадратных трёхчленов $x^2+ax+b$ и $x^2+bx+1100$ есть общий корень, являющийся простым числом. Найдите $a$. Укажите все возможные варианты.

На острове живут два племени: рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды 80 человек сели за круглый стол, и каждый из них заявил: «Среди 11 человек, сидящих следом за мной по часовой стрелке, есть хотя бы 9 лжецов». Сколько рыцарей сидит за круглым столом? Укажите все возможные варианты.

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB=42$ и $BC=56$. Окружность, проходящая через точку $B$, пересекает сторону $AB$ в точке $P$, сторону $BC$ — в точке $Q$, а сторону $AC$ — в точках $K$ и $L$. Известно, что $PK=KQ$ и $QL:PL=3:4$. Найдите $PQ^2$.

Два разбойника украли 300 золотых монет. Они решили поделить их следующим образом: первый разбойник кладёт в мешочек несколько монет (возможно, все), а второй разбойник выбирает, кому этот мешочек достанется; затем это действие повторяется ещё несколько раз. Делёж заканчивается, когда

• либо все деньги кончились,
• либо кому-нибудь досталось 11 мешочков — в этом случае все остальные деньги сразу же достаются другому разбойнику.

Какое наибольшее количество монет может гарантированно получить первый разбойник?