Всероссийская олимпиада школьников по математике

Найдите наибольшее пятизначное число, произведение цифр которого равно 120.

В течение первого полугодия лентяй Паша заставлял себя решать задачи по математике. Каждый день он решал не более 10 задач, а если в какой-нибудь день он решал больше 7 задач, то следующие два дня он решал не более 5 задач в день. Какое наибольшее количество задач Паша мог решить за 7 подряд идущих дней?

Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, $X$ — середина диагонали $AC$. Оказалось, что $CD\parallel BX$. Найдите $AD$, если известно, что $BX=3$, $BC=7$, $CD=6$.

Про положительные числа $a$, $b$, $c$ известно, что \[\dfrac{a+b+c}{a+b-c}=7,\qquad \dfrac{a+b+c}{a+c-b}=1{,}75.\] Чему равняется $\frac{a+b+c}{b+c-a}$?

Точка $M$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC$, в котором $AB=17$, $AC=30$, $BC=19$. На стороне $AB$ как на диаметре построена окружность. На этой окружности выбирается произвольная точка $X$. Какое минимальное значение может принимать длина отрезка $MX$?

Дана белая клетчатая таблица $8\times8$. В ней 20 клеток покрасили в чёрный цвет. Какое наименьшее количество пар соседних по стороне белых клеток могло остаться?

Стороны квадрата $ABCD$ параллельны осям координат, причём $AB$ лежит на оси ординат, а сам квадрат расположен так, как показано на рисунке. Парабола, задаваемая уравнением \[y=\frac{1}{5}x^2+ax+b,\] проходит через точки $B$ и $C$. Кроме этого, вершина этой параболы (точка $E$) лежит на отрезке $AD$. Найдите сумму корней квадратного трёхчлена, графиком которого является парабола.

По кругу стоят 73 ребёнка. Злой Дед Мороз обходит круг по часовой стрелке и раздаёт конфеты. Вначале он выдал первому ребёнку одну конфету, затем 1 ребёнка пропустил, следующему ребёнку выдал одну конфету, затем 2 детей пропустил, следующему ребёнку выдал одну конфету, затем 3 детей пропустил и так далее.
Раздав 2020 конфет, он ушёл. Сколько детей так и не получили конфеты?