Всероссийская олимпиада школьников по математике

Назовём главными делителями составного числа $n$ два наибольших его натуральных делителя, отличных от $n$. Составные натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что главные делители числа $a$ совпадают с главными делителями числа $b$. Докажите, что $a=b$.

На плоскости нарисованы графики функций $y=\sin x$ и $y=\operatorname{tg}x$, а также оси координат. Как циркулем и линейкой построить какую-нибудь прямую, которая касается графика синуса как выше оси абсцисс ($Ox$), так и ниже (и, возможно, имеет ещё несколько точек пересечения)?

На плоскости фиксирован остроугольный треугольник $ABC$ с наибольшей стороной $BC$. Пусть $PQ$ — произвольный диаметр его описанной окружности, причём точка $P$ лежит на меньшей дуге $AB$, а точка $Q$ — на меньшей дуге $AC$. Точки $X$, $Y$ и $Z$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $P$ на прямую $AB$, из точки $Q$ на прямую $AC$ и из точки $A$ на прямую $PQ$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $XYZ$ лежит на фиксированной окружности (не зависящей от выбора точек $P$ и $Q$).

Дано натуральное число $n\gt 4$. На плоскости отмечены $n$ точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Василий проводит по одному все отрезки, соединяющие пары отмеченных точек. На каждом шаге, проводя очередной отрезок $S$, Василий помечает его наименьшим натуральным числом, которым ещё не помечен ни один отрезок, имеющий с $S$ общий конец. Для какого наибольшего $k$ Василий может действовать так, чтобы пометить какой-то отрезок числом $k$?

На доске написаны 11 целых чисел (не обязательно различных). Может ли оказаться, что произведение любых пяти из них больше, чем произведение остальных шести?

Дано натуральное число $n$. Саша утверждает, что для любых $n$ лучей в пространстве, никакие два из которых не имеют общих точек, он сможет отметить на этих лучах $k$ точек, лежащих на одной сфере. При каком наибольшем $k$ его утверждение верно?

Для натурального числа $N$ рассмотрим все различные точные квадраты, которые можно получить из $N$ вычёркиванием одной цифры в его десятичной записи. Докажите, что количество этих квадратов не превосходит некоторой величины, не зависящей от $N$.

Из каждой вершины треугольника $ABC$ провели внутрь него два луча, красный и синий, симметричные относительно биссектрисы соответствующего угла. Около треугольников, образованных при пересечении лучей одного цвета, описали окружности. Докажите, что если описанная окружность треугольника $ABC$ касается одной из этих окружностей, то она касается и другой.