Всероссийская олимпиада школьников по математике

Ослик Иа-Иа составил из шести палочек два треугольника. Затем он разобрал треугольники обратно и покрасил шесть палочек в два цвета: три самых коротких — в жёлтый цвет, а три остальных — в зелёный. Обязательно ли ослику удастся составить два треугольника, один — из трёх жёлтых палочек, а другой — из трёх зелёных?

Ненулевые числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенствам $x^2-x\gt y^2$ и $y^2-y\gt x^2$. Какой знак может иметь произведение $xy$?

Рассмотрим такие натуральные числа $a$, $b$ и $c$, что дробь \[ k=\dfrac{ab+c^2}{a+b} \] является натуральным числом, меньшим $a$ и $b$. Какое наименьшее количество натуральных делителей может быть у числа $a+b$?

Окружности $\Omega$ и $\omega$ касаются друг друга внутренним образом в точке $A$. Проведем в большей окружности $\Omega$ хорду $CD$, касающуюся $\omega$ в точке $B$ (хорда $AB$ не является диаметром $\omega$). Точка $M$ — середина отрезка $AB$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $CMD$, проходит через центр $\omega$.

Петя и Вася играют на доске $100\times100$. Изначально все клетки доски белые. Каждым своим ходом Петя красит в чёрный цвет одну или несколько белых клеток, стоящих подряд по диагонали. Каждым своим ходом Вася красит в чёрный цвет одну или несколько белых клеток, стоящих подряд по вертикали. (На рисунке справа показаны возможные первые ходы Пети и Васи на доске $4\times4$.) Первый ход делает Петя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Десятизначные натуральные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $a+b=c$. Какое наибольшее количество из 30 их цифр могут оказаться нечётными?

Вася записал в клетки таблицы $9\times9$ натуральные числа от 1 до 81 (в каждой клетке стоит по числу, все числа различны). Оказалось, что любые два числа, отличающихся на 3, стоят в соседних по стороне клетках. Верно ли, что обязательно найдутся две угловых клетки, разность чисел в которых делится на 6?

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Оказалось, что точка пересечения медиан треугольника $ABD$ лежит на биссектрисе угла $BCD$. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника $ABC$ лежит на биссектрисе угла $ADC$.

В алфавите $n\gt 1$ букв; словом является каждая конечная последовательность букв, в которой любые две соседние буквы различны. Слово называется хорошим, если из него нельзя вычеркнуть все буквы, кроме четырёх, так, чтобы осталась последовательность вида $aabb$, где $a$ и $b$ — различные буквы. Найдите наибольшее возможное количество букв в хорошем слове.

Витя записал в тетрадь $n$ различных натуральных чисел. Для каждой пары чисел из тетради он выписал на доску их наименьшее общее кратное. Могло ли при каком-то $n\gt 100$ случиться так, что $\dfrac{n(n-1)}{2}$ чисел на доске являются (в некотором порядке) последовательными членами непостоянной арифметической прогрессии?