Всероссийская олимпиада школьников по математике

На острове живут красные, жёлтые, зелёные и синие хамелеоны.

• В пасмурный день либо один красный хамелеон меняет окрас на жёлтый цвет, либо один зелёный хамелеон — на синий цвет.
• В солнечный день либо один красный хамелеон меняет окрас на зелёный цвет, либо один жёлтый хамелеон — на синий цвет.

В сентябре было 18 солнечных и 12 пасмурных дней. При этом количество жёлтых хамелеонов увеличилось на 5. На сколько увеличилось количество зелёных хамелеонов?

У Дениса есть карточки с числами от 1 до 50. Сколько существует способов выбрать две карточки так, чтобы разность чисел на карточках равнялась 11, а произведение делилось на 5?
Порядок выбранных карточек не важен: например, способ выбора карточек с числами 5 и 16, а также способ выбора карточек с числами 16 и 5 — это один и тот же способ.

Торговцы Андрей и Борис купили по 60 мешков картошки у одного и того же фермера. Все мешки стоили одинаково.
Андрей продал все свои мешки, увеличив их цену на 100%. Борис же сначала увеличил цену на 60%, а когда продал 15 мешков, увеличил цену ещё на 40% и продал остальные 45 мешков.
Оказалось, что Борис заработал на 1200 рублей больше Андрея. Сколько рублей стоил один мешок картошки у фермера?

Через вершину $A$ прямоугольника $ABCD$ проведена прямая $\ell$, как изображено на рисунке. Из точек $B$ и $D$ опущены перпендикуляры $BX$ и $DY$ на прямую $\ell$. Найдите длину отрезка $XY$, если известно, что $BX=4$, $DY=10$, $BC=2AB$.

У Леонида есть белый клетчатый прямоугольник. Сначала он покрасил в серый цвет все столбцы через один, начиная с самого левого, а затем все строки через одну, начиная с самой верхней. Все клетки, примыкающие к границе прямоугольника, оказались закрашены.
Сколько закрашенных клеток могло получиться в прямоугольнике, если белых клеток осталось 74? Укажите все возможные варианты.
Пример раскраски прямоугольника $5\times7$ изображён ниже.

В треугольнике $ABC$ известны углы $\angle B=30^\circ$ и $\angle A=90^\circ$. На стороне $AC$ отмечена точка $K$, а на стороне $BC$ — точки $L$ и $M$ так, что $KL=KM$ (точка $L$ лежит на отрезке $BM$).
Найдите длину отрезка $LM$, если известно, что $AK=4$, $BL=31$, $MC=3$.

В школьном шахматном турнире участвовали 4 человека: Андрей, Ваня, Дима и Саша. Каждый сыграл дважды с каждым своим соперником. В каждой игре за победу давалось 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за поражение — 0 очков.
Известно, что по окончании турнира

• все ребята набрали разное количество очков;
• Андрей занял первое место, Дима — второе, Ваня — третье, Саша — четвёртое;
• Андрей одержал столько же побед, сколько и Саша.

Сколько очков набрал каждый из ребят?

Целые числа $n$ и $m$ удовлетворяют неравенствам $3n-m\lt 5$, $n+m\gt 26$, $3m-2n\lt 46$. Чему может равняться $2n+m$? Укажите все возможные варианты.