Планиметрия

Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его внутренний угол относится к внешнему как 13:2?

В окружность вписаны равносторонний треугольник и квадрат. Периметр треугольника равен $6\sqrt6$. Найти периметр квадрата.

Около окружности описаны равносторонний треугольник и квадрат. Периметр треугольника равен $9\sqrt3$. Найти периметр квадрата.

В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении $12:5$, а боковая сторона равна 60. Найдите основание.

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=15$, $BC=12$, $AC=18$. В каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису, проведённую из вершины $C$?

В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 20, основание равно 24. Найдите расстояние между точкой пересечения медиан и точкой пересечения биссектрис этого треугольника.

В параллелограмме $PQRS$ биссектриса угла при вершине $P$, равного $80^{\circ}$, пересекает сторону $RS$ в точке $L$. Найдите радиус окружности, касающейся отрезка $PQ$ и лучей $QR$ и $PL$, если известно, что $PQ=7$.

Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно в точках $K$, $M$ и $N$. Найдите угол $KMN$, если $\angle A=70^{\circ}$.

Докажите, что для произвольного треугольника выполняется равенство $$r=\frac{a\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}},$$ где $r$ — радиус вписанной окружности, $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы треугольника $ABC$, $a=BC$.

В параллелограмме $ABCD$ с углом $A$, равным $60^{\circ}$, проведена биссектриса угла $B$, пересекающая сторону $CD$ в точке $E$. В треугольник $ECB$ вписана окружность радиуса $R$. Другая окружность вписана в трапецию $ABED$. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.

В равнобедренный треугольник $ABC$ вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании $BC$, а две другие — на боковых сторонах треугольника. Сторона квадрата относится к радиусу круга, вписанного в треугольник, как $8:5$. Найдите углы треугольника.

Сторона $AB$ прямоугольника $ABCD$ равна 12, а сторона стороны $AD$ равна 5. Диагонали прямоугольника пересекаются в точке $E$. Найдите отношение расстояния от точки $E$ до центра окружности, вписанной в треугольник $AED$, к расстоянию от точки $E$ до центра окружности, вписанной в треугольник $DEC$.

Даны координаты противоположных вершин квадрата $ABCD$: $A(-1;~-3)$ и $C(3;~5)$. Найти координаты вершин $B$ и $D$.

Даны координаты смежных вершин прямоугольника $ABCD$: $A(-4;~3)$, $B(-2;~-3)$. $O(3;~2)$ — точка пересечения его диагоналей. Найти координаты вершин $C$ и $D$.

Даны координаты противоположных вершин квадрата $ABCD$: $A(-3;~-1)$ и $C(6;~4)$. Найти координаты вершин $B$ и $D$.

На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=5:3$, а на стороне $CD$ — точка $K$ так, что $CK:KD=3:2$. Через векторы $\vec a=\overline{AD}$ и $\vec b=\overline{AB}$ выразить векторы:
а) $\overline{MA}$; б) $\overline{MK}$; в) $\overline{CN}$, где $N$ — середина $MK$.

На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=2:1$, а на стороне $CD$ — точка $K$ так, что $CK:KD=2:3$. Через векторы $\vec a=\overline{AD}$ и $\vec b=\overline{AB}$ выразить векторы:
а) $\overline{MD}$; б) $\overline{KM}$; в) $\overline{BN}$, где $N$ — середина $MK$.

На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=3:2$, а на стороне $CD$ — точка $K$ так, что $CK:KD=2:1$. Через векторы $\vec a=\overline{AD}$ и $\vec b=\overline{AB}$ выразить векторы:
а) $\overline{MA}$; б) $\overline{MK}$; в) $\overline{CN}$, где $N$ — середина $MK$.

На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=2:3$, а на стороне $CD$ — точка $K$ так, что $CK:KD=3:1$. Через векторы $\vec a=\overline{AD}$ и $\vec b=\overline{AB}$ выразить векторы:
а) $\overline{MD}$; б) $\overline{KM}$; в) $\overline{BN}$, где $N$ — середина $MK$.

Пусть $\vec e_1$ и $\vec e_2$ — неколлинеарные векторы. Выразить вектор $\vec a=2\vec e_1-3\vec e_2$ через векторы $\vec x=\vec e_1 + \vec e_2$ и $\vec y=\vec e_1 - \vec e_2$.