Планиметрия

Пусть $\vec e_1$ и $\vec e_2$ — неколлинеарные векторы. Выразить вектор $\vec a=3\vec e_1-5\vec e_2$ через векторы $\vec x=\vec e_1 + \vec e_2$ и $\vec y=\vec e_1 - \vec e_2$.

Пусть $\vec e_1$ и $\vec e_2$ — неколлинеарные векторы. Выразить вектор $\vec a=2\vec e_1-7\vec e_2$ через векторы $\vec x=\vec e_1 + \vec e_2$ и $\vec y=\vec e_1 - \vec e_2$.

Пусть $\vec e_1$ и $\vec e_2$ — неколлинеарные векторы. Выразить вектор $\vec a=\vec e_1-3\vec e_2$ через векторы $\vec x=\vec e_1 + \vec e_2$ и $\vec y=\vec e_1 - \vec e_2$.

В треугольнике $ABC$ на медиане $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=3:1$. Выразить вектор $\overline{BK}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.

В треугольнике $ABC$ на медиане $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=1:3$. Выразить вектор $\overline{CK}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.

В треугольнике $ABC$ на медиане $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=2:3$. Выразить вектор $\overline{BK}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.

В треугольнике $ABC$ на медиане $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=3:2$. Выразить вектор $\overline{CK}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.

В треугольнике $ABC$ на биссектрисе $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=3:2$. Выразить вектор $\overline{KC}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.

В треугольнике $ABC$ на биссектрисе $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=1:2$. Выразить вектор $\overline{KB}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.

В треугольнике $ABC$ на биссектрисе $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=1:3$. Выразить вектор $\overline{KC}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.

В треугольнике $ABC$ на биссектрисе $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=2:3$. Выразить вектор $\overline{KB}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.

Даны точки $A(-2;~1)$, $B(2;~5)$ и $C(4;~-1)$. Точка $D$ лежит на продолжении медианы $AM$ за точку $M$, причём четырёхугольник $ABDC$ — параллелограмм. Найдите координаты точки $D$.

Даны точки $A(-6;~-1)$, $B(1;~2)$ и $C(-3;~-2)$. Найдите координаты вершины $M$ параллелограмма $ABMC$.

Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$. Известно, что $\overline{BC}=\overline{a}$, $\overline{DC}=\overline{b}$. Найдите векторы $\overline{AE}$, $\overline{FC}$, $\overline{BF}$, $\overline{AC}$ и $\overline{MK}$, где $M$ — середина стороны $BC$, а точка $K$ расположена на стороне $EF$, причём $FK:KE=1:2$.

Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$ с центром $O$. Известно, что $\overline{BO}=\overline{a}$, $\overline{DE}=\overline{b}$. Найдите векторы $\overline{BF}$, $\overline{DB}$, $\overline{FD}$, $\overline{AD}$ и $\overline{MK}$, где $M$ — середина стороны $BC$, а точка $K$ расположена на стороне $EF$, причём $FK:KE=1:2$.

Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$. Известно, что $\overline{AB}=\overline{a}$, $\overline{AF}=\overline{b}$. Найдите векторы $\overline{AD}$, $\overline{BD}$, $\overline{FD}$ и $\overline{BM}$, где $M$ — середина стороны $EF$.

Пусть точки $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ — середины сторон соответственно $BC$, $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$. Докажите, что для любой точки $O$ выполняется равенство $\overline{OA_{1}}+\overline{OB_{1}}+\overline{OC_{1}}=\overline{OA}+\overline{OB}+\overline{OC}$.

Равные отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, причём $AO=OD$. Докажите равенство треугольников $ABC$ и $DCB$.

В треугольнике $ABC$ медиана $AM$ продолжена за точку $M$ на расстояние, равное $AM$. Найдите расстояние от полученной точки до вершин $B$ и $C$, если $AB=4$, $AC=5$.

Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Докажите, что $AC\parallel BD$ и $AD\parallel BC$.