Производная

Написать уравнения касательных к графику функции $y=x(2e^x-xe^2-2e^2)$, параллельных оси абсцисс.

Написать уравнения касательных к графику функции $y=x-2\ln(x^2+1)+2\text{arctg}\,x$, параллельных оси абсцисс.

Написать уравнение касательной к графику функции $y=\ln(4x-x^2)$, параллельной оси абсцисс.

Написать уравнение касательной к графику функции $y=\ln(2x^3+3x^2-12x)$, параллельной оси абсцисс.

Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle f(x)=\frac{x^3-x^2+4}{x^2}$.
а) Для каждого $a$ указать количество корней уравнения $f(x)=a$.
б) Для каждого $a$ указать количество корней уравнения $f(x)=a-7x$.

Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3x+3}{x-2}$.
а) Для каждого $a$ найти количество корней уравнения $f(x)=a(x-2)+1$
б) Для каждого $a$ найти количество корней уравнения $f(x)=a(x-2)+2$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=\cos4x+2\cos2x$ на отрезке $\displaystyle\left[-\frac{\pi}{6},~\frac{\pi}{3}\right]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=\cos⁡4x-2\cos⁡2x$ на отрезке $\displaystyle\left[\frac{\pi}{3},~\frac{5\pi}{6}\right]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=\sin4x+2\sin2x$ на отрезке $\displaystyle\left[0,~\frac{2\pi}{3}\right]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=\sin6x+2\cos3x$ на отрезке $\displaystyle\left[0,~\frac{2\pi}{9}\right]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=2\cos 3x-3\cos2x-6\sin x+6\cos x+3x$ на отрезке $\displaystyle\left[\frac{\pi}{3},~\pi\right]$.

Написать уравнение (-ия) касательной (-ых) к графику функции $$\displaystyle y=2\ln(x^2+4)-32\,\text{arctg}\left(\frac{x}{2}\right)+\frac13x^3-4x^2+19x,$$ а) параллельных оси абсцисс,
б) в точке максимума функции.

Исследовать функцию $$f(x)=\frac{x^2+x+4}{|x+1|}$$ и построить её график. Для каждого $a$ указать количество корней уравнения $$\displaystyle\frac{x^2+x+4}{|x+1|}=\frac34x+a.$$

Написать уравнение касательной к параболе $y=x^2+6x+5$, проходящей через точку $(-2;~-3)$.

Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$.

Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Построить график функции $\displaystyle y=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}$.

Построить график функции $\displaystyle y=\frac{\sqrt{x^4-1}}{x}$.

Найти нули производной функции $f(x)=4x^3-x^2-4x+7$.

Найти нули производной функции $f(x)=4x^3-18x^2+15x-11$.