Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой и сложностью, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 43
Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$.
а) Докажите, что $KM\parallel BC$.
б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите $AL$, если радиус большей окружности равен 10, а $BC=16$
а) Докажите, что $KM\parallel BC$.
б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите $AL$, если радиус большей окружности равен 10, а $BC=16$
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$, все рёбра которой равны, проведена высота $SO$. На середине ребра $SC$ взята точка $M$. Найти угол между прямыми $BM$ и $SO$.
Ответ:
Решение:
Равносторонний треугольник со стороной $2$ повернули на $60^{\circ}$ вокруг середины его стороны. Найти площадь общей части исходного и повернутого треугольников.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $4$, а боковое ребро $AA_1=\sqrt{22}$. Точка $M$ — середина ребра $A_1C_1$. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$ и $M$. Найдите площадь получившейся в сечении равнобедренной трапеции.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $4$, а боковое ребро $AA_1=\sqrt{33}$. Точка $M$ — середина ребра $A_1C_1$. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$ и $M$. Найдите площадь получившейся в сечении равнобедренной трапеции.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $4$, а боковое ребро $AA_1=\sqrt{46}$. Точка $M$ — середина ребра $A_1C_1$. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$ и $M$. Найдите площадь получившейся в сечении равнобедренной трапеции.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $4$, а боковое ребро $AA_1=\sqrt{13}$. Точка $M$ — середина ребра $A_1C_1$. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$ и $M$. Найдите площадь получившейся в сечении равнобедренной трапеции.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB=4$, высота $AA_1=3$. На продолжении стороны основания $BC$ за точку $C$ взяли точку $M$ так, что точка $C$ — середина отрезка $BM$.
а) Найти косинус угла между прямыми $A_1B$ и $B_1M$.
б) Построить сечение призмы плоскостью $(AB_1M)$ и найти его площадь.
а) Найти косинус угла между прямыми $A_1B$ и $B_1M$.
б) Построить сечение призмы плоскостью $(AB_1M)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB=6$, боковое ребро $SA=\sqrt{26}$. На продолжении высоты $SO$ за точку $O$ выбрана точка $P$ так, что точка $O$ — середина отрезка $SP$, а на серединах сторон оснований $AB$ и $BC$ взяты точки $K$ и $M$ соответственно. Найти, в каком отношении плоскость $(PKM)$ делит ребро $SB$ пирамиды. Построить сечение пирамиды плоскостью $(PKM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB=4$, боковое ребро $SA=2\sqrt{6}$. На продолжении высоты $SO$ за точку $O$ выбрана точка $P$ так, что точка $O$ — середина отрезка $SP$, а на серединах сторон оснований $AB$ и $BC$ взяты точки $K$ и $M$ соответственно. Найти, в каком отношении плоскость $(PKM)$ делит ребро $SB$ пирамиды. Построить сечение пирамиды плоскостью $(PKM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB=6$, боковое ребро $SA=\sqrt{38}$. На продолжении высоты $SO$ за точку $O$ выбрана точка $P$ так, что точка $O$ — середина отрезка $SP$, а на серединах сторон оснований $AB$ и $BC$ взяты точки $K$ и $M$ соответственно. Найти, в каком отношении плоскость $(PKM)$ делит ребро $SB$ пирамиды. Построить сечение пирамиды плоскостью $(PKM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
Для треугольника $ABC$ со сторонами $a=BC=21$, $b=AC=20$ и $c=AB=13$ найти:
а) радиус $R$ описанной окружности;
б) радиус $r$ вписанной окружности;
в) длины отрезков, на которые точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника делят стороны;
г) радиус окружности, описанной около треугольника $A_1B_1C$, где $A_1$ и $B_1$ — середины сторон $BC$ и $AC$ соответственно.
а) радиус $R$ описанной окружности;
б) радиус $r$ вписанной окружности;
в) длины отрезков, на которые точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника делят стороны;
г) радиус окружности, описанной около треугольника $A_1B_1C$, где $A_1$ и $B_1$ — середины сторон $BC$ и $AC$ соответственно.
Ответ:
Решение:
Для треугольника $ABC$ со сторонами $a=BC=15$, $b=AC=14$ и $c=AB=13$ найти:
а) радиус $R$ описанной окружности;
б) радиус $r$ вписанной окружности;
в) длины отрезков, на которые точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника делят стороны;
г) радиус окружности, описанной около треугольника $A_1B_1C$, где $A_1$ и $B_1$ — середины сторон $BC$ и $AC$ соответственно.
а) радиус $R$ описанной окружности;
б) радиус $r$ вписанной окружности;
в) длины отрезков, на которые точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника делят стороны;
г) радиус окружности, описанной около треугольника $A_1B_1C$, где $A_1$ и $B_1$ — середины сторон $BC$ и $AC$ соответственно.
Ответ:
Решение:
Для треугольника $ABC$ со сторонами $a=BC=21$, $b=AC=17$ и $c=AB=10$ найти:
а) радиус $R$ описанной окружности;
б) радиус $r$ вписанной окружности;
в) длины отрезков, на которые точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника делят стороны;
г) радиус окружности, описанной около треугольника $A_1B_1C$, где $A_1$ и $B_1$ — середины сторон $BC$ и $AC$ соответственно.
а) радиус $R$ описанной окружности;
б) радиус $r$ вписанной окружности;
в) длины отрезков, на которые точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника делят стороны;
г) радиус окружности, описанной около треугольника $A_1B_1C$, где $A_1$ и $B_1$ — середины сторон $BC$ и $AC$ соответственно.
Ответ:
Решение:
На середине $BC$ правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ со стороной основания $AB=6$ и высотой $SO=3\sqrt2$ взята точка $M$. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку $O$ параллельно прямым $BC$ и $SM$. Найти площадь такого сечения.
Ответ:
Решение:
На середине $BC$ правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ со стороной основания $AB=8$ и высотой $SO=4\sqrt2$ взята точка $M$. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку $O$ параллельно прямым $BC$ и $SM$. Найти площадь такого сечения.
Ответ:
Решение:
Для треугольника $ABC$ со сторонами $a=BC=20$, $b=AC=15$ и $c=AB=7$ найти:
а) радиус $R$ описанной окружности;
б) радиус $r$ вписанной окружности;
в) длины отрезков, на которые точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника делят стороны;
г) радиус окружности, описанной около треугольника $A_1B_1C_1$, где $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно.
а) радиус $R$ описанной окружности;
б) радиус $r$ вписанной окружности;
в) длины отрезков, на которые точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника делят стороны;
г) радиус окружности, описанной около треугольника $A_1B_1C_1$, где $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно.
Ответ:
Решение:
Сторона основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равна 2, боковое ребро равно 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую $BD$ параллельно прямой $AS$.
Ответ:
Решение:
Сторона основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равна $4$, боковое ребро равно $6$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ параллельно прямым $BD$ и $AS$.
Ответ:
Решение:
Дана правильная треугольная пирамида $ABCD$ с вершиной $D$.
а) Докажите, что её сечение плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ параллельно прямым $AD$ и $BC$, — прямоугольник.
б) Найдите расстояние между противоположными рёбрами, если сторона основания равна $6\sqrt{3}$, а боковое ребро равно 10.
а) Докажите, что её сечение плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ параллельно прямым $AD$ и $BC$, — прямоугольник.
б) Найдите расстояние между противоположными рёбрами, если сторона основания равна $6\sqrt{3}$, а боковое ребро равно 10.
Ответ:
Решение: