Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой и сложностью, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 161
Основания прямоугольной трапеции равны 6 и 8. Один из углов при меньшем основании равен $120^{\circ}$. Найдите диагонали трапеции.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=3:2$. На отрезке $AM$ взята точка $N$ так, что $AN:NM=2:1$. Прямая $BN$ пересекает сторону $AC$ треугольника в точке $K$. Найти отношения: а) $BN:NK$, б) $AK:KC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=2:3$. На отрезке $AM$ взята точка $N$ так, что $AN:NM=1:2$. Прямая $BN$ пересекает сторону $AC$ треугольника в точке $K$. Найти отношения: а) $BN:NK$, б) $AK:KC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=1:3$. На отрезке $AM$ взята точка $N$ так, что $AN:NM=3:2$. Прямая $BN$ пересекает сторону $AC$ треугольника в точке $K$. Найти отношения: а) $BN:NK$, б) $AK:KC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=3:1$. На отрезке $AM$ взята точка $N$ так, что $AN:NM=3:2$. Прямая $BN$ пересекает сторону $AC$ треугольника в точке $K$. Найти отношения: а) $BN:NK$, б) $AK:KC$.
Ответ:
Решение:
Площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD=3\,BC$) равна $56$. На середине стороны $CD$ взята точка $M$, отрезок $AM$ и диагональ $BD$ пересекаются в точке $P$. Найти: а) $BP:PD$; б) $AP:PM$; в) $S_{BPMC}$.
Ответ:
Решение:
В треугольник со сторонами 10, 17 и 21 вписан прямоугольник с периметром 24 так, что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника, а две вершины — на двух других сторонах треугольника. Найдите стороны прямоугольника.
Ответ:
Решение:
Площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD=3\,BC$) равна $80$. На стороне $CD$ взята точка $M$ так, что $CM:MD=2:1$. Отрезок $AM$ и диагональ $BD$ пересекаются в точке $P$. Найти:
а) отношение $BP:PD$;
б) отношение $AP:PM$;
в) площадь четырёхугольника $BPMC$.
а) отношение $BP:PD$;
б) отношение $AP:PM$;
в) площадь четырёхугольника $BPMC$.
Ответ:
Решение:
Площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD=2\,BC$) равна $54$. На стороне $CD$ взята точка $M$ так, что $CM:MD=3:1$. Отрезок $AM$ и диагональ $BD$ пересекаются в точке $P$. Найти:
а) отношение $BP:PD$;
б) отношение $AP:PM$;
в) площадь четырёхугольника $BPMC$.
а) отношение $BP:PD$;
б) отношение $AP:PM$;
в) площадь четырёхугольника $BPMC$.
Ответ:
Решение:
Площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD=3\,BC$) равна $170$. На стороне $CD$ взята точка $M$ так, что $CM:MD=3:2$. Отрезок $AM$ и диагональ $BD$ пересекаются в точке $P$. Найти:
а) отношение $BP:PD$;
б) отношение $AP:PM$;
в) площадь четырёхугольника $BPMC$.
а) отношение $BP:PD$;
б) отношение $AP:PM$;
в) площадь четырёхугольника $BPMC$.
Ответ:
Решение:
Площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD=2\,BC$) равна $195$. На стороне $CD$ взята точка $M$ так, что $CM:MD=2:3$. Отрезок $AM$ и диагональ $BD$ пересекаются в точке $P$. Найти:
а) отношение $BP:PD$;
б) отношение $AP:PM$;
в) площадь четырёхугольника $BPMC$.
а) отношение $BP:PD$;
б) отношение $AP:PM$;
в) площадь четырёхугольника $BPMC$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 12, а синус острого угла при основании равен $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{13}}$. Найти площадь трапеции.
Ответ:
Решение:
В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 8, а синус острого угла при основании равен $\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}$. Найти площадь трапеции.
Ответ:
Решение:
В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 12, а синус острого угла при основании равен $\displaystyle \frac{4}{\sqrt{17}}$. Найти площадь трапеции.
Ответ:
Решение:
Теорема о вписанном угле (формулировка, доказательство для случаев, когда центр окружности находится на стороне угла; находится внутри угла).
Ответ:
Решение:
Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$. Продолжения противоположных сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$, сторон $BC$ и $AD$ — в точке $L$. Докажите, что биссектрисы углов $BKC$ и $BLA$ перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
Через точку $M$, удаленную на расстояние $8{,}5$ от центра окружности диаметра 25, проведена хорда длины 20. Найти длины отрезков, на которые эта хорда делится точкой $M$.
Ответ:
Решение:
Через точку $M$, удаленную на расстояние 12 от центра окружности радиуса 16, проведена хорда длины 22. Найти длины отрезков, на которые эта хорда делится точкой $M$.
Ответ:
Решение:
Окружность касается сторон $AD$, $AB$ и $BC$ прямоугольника $ABCD$ в точках $M$, $K$ и $N$ соответственно. Отрезок $BM$ пересекает окружность в точке $P$. Найти сторону $AB$ прямоугольника, если хорда $PM$ окружности равна $2\sqrt5$.
Ответ:
Решение:
Окружность проходит через вершины $A$ и $D$ прямоугольника $ABCD$ и касается стороны $BC$ в ее середине. Через точку $C$ к окружности проведена касательная $CK$ ($K$ — точка касания), которая пересекает продолжение стороны $AD$ за точку $D$ в точке $E$. Найти площадь трапеции $ABCE$, если $AD=6$ и $ED : EK=3:7$.
Ответ:
Решение: