Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 383
Найдите наименьшее натуральное число, десятичная запись квадрата которого оканчивается на 2016.
Ответ:
Решение:
Существует ли такой квадратный трёхчлен $f(x)=ax^2+bx+c$ с целыми коэффициентами и $a$, не кратным $2014$, что все числа $f(1)$, $f(2)$, …, $f(2014)$ имеют различные остатки при делении на $2014$?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
На экране компьютера напечатано натуральное число, делящееся на 7, а курсор находится в промежутке между некоторыми двумя его соседними цифрами. Докажите, что существует такая цифра, что, если её впечатать в этот промежуток любое число раз, то все получившиеся числа также будут делиться на 7.
Ответ:
Решение:
Между двумя восьмёрками в числе 88 вписали несколько нулей. Докажите, что можно всегда дописать слева в начало нового числа ещё несколько цифр так, чтобы получилось число, которое является полным кубом.
Ответ:
Решение:
Найдите все такие пары натуральных чисел $a$ и $k$, что для всякого натурального $n$, взаимно простого с $a$, число $a^{k^n+1}-1$ делится на $n$.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное число $N\gt 9$, которое не делится на 7, но если вместо любой его цифры поставить семёрку, то получится число, которое делится на 7.
Ответ:
Решение:
Таня последовательно выписывала числа вида $n^7-1$ для натуральных чисел $n=2,3,\ldots$ и заметила, что полученное при $n=8$ число делится на 337. А при каком наименьшем $n\gt 1$ она получит число, делящееся на 2022?
Ответ:
Решение:
Обозначим через $S(n,k)$ количество не делящихся на $k$ коэффициентов разложения многочлена $(x+1)^n$ по степеням $x$.
а) Найдите $S(2012,3)$.
б) Докажите, что $S(2012^{2011},2011)$ делится на $2012$.
а) Найдите $S(2012,3)$.
б) Докажите, что $S(2012^{2011},2011)$ делится на $2012$.
Ответ:
Решение:
Глеб задумал натуральные числа $N$ и $a$, $a\lt N$. Число $a$ он написал на доске. Затем он начал выполнять следующую операцию: делить $N$ с остатком на последнее выписанное на доску число, а полученный остаток от деления также записывать на доску. Когда на доске появилось число 0, он остановился. Мог ли Глеб изначально выбрать такие $N$ и $a$, чтобы сумма выписанных чисел была больше $100N$?
Ответ:
Решение:
Найдите все такие $a$ и $b$, что $|a|+|b|\geqslant\dfrac{2}{\sqrt3}$ и при всех $x$ выполнено неравенство \[|a\sin x+b\sin 2x|\leqslant 1.\]
Ответ:
Решение:
Найдите такое значение $a\gt 1$, при котором уравнение $a^x=\log_a x$ имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, для которых найдутся такие $x$, $y$ и $z$, что числа $\cos x$, $\cos y$ и $\cos z$ попарно различны и образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию, при этом числа $\cos(x+a)$, $\cos(y+a)$ и $\cos(z+a)$ также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию.
Ответ:
Решение:
На вписанной окружности треугольника $ABC$, касающейся стороны $AC$ в точке $S$, нашлась такая точка $Q$, что середины отрезков $AQ$ и $QC$ также лежат на вписанной окружности. Докажите, что $QS$ — биссектриса угла $AQC$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ угол $A$ равен $30^\circ$. Точка $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, $D$ — точка пересечения отрезка $BI$ с этой окружностью. Докажите, что отрезки $AI$ и $CD$ перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
Точки $O$ и $I$ — центры описанной и вписанной окружностей неравнобедренного треугольника $ABC$. Две равные окружности касаются сторон $AB$, $BC$ и $AC$, $BC$ соответственно; кроме этого, они касаются друг друга в точке $K$. Оказалось, что $K$ лежит на прямой $OI$. Найдите $\angle BAC$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ ($AB\lt BC$) провели высоту $BH$. Точка $P$ симметрична точке $H$ относительно прямой, соединяющей середины сторон $AC$ и $BC$. Докажите, что прямая $BP$ содержит центр описанной окружности треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Периметр треугольника $ABC$ равен 1. Окружность $\omega$ касается стороны $BC$, продолжения стороны $AB$ в точке $P$ и продолжения стороны $AC$ в точке $Q$. Прямая, проходящая через середины $AB$ и $AC$, пересекает описанную окружность треугольника $APQ$ в точках $X$ и $Y$. Найдите длину отрезка $XY$.
Ответ:
Решение:
На описанной окружности треугольника $ABC$ отметили середины дуг $BAC$ и $CBA$ — точки $M$ и $N$ соответственно, и середины дуг $BC$ и $AC$ — точки $P$ и $Q$ соответственно. Окружность $\omega_1$ касается стороны $BC$ в точке $A_1$ и продолжений сторон $AC$ и $AB$. Окружность $\omega_2$ касается стороны $AC$ в точке $B_1$ и продолжений сторон $BA$ и $BC$. Оказалось, что $A_1$ лежит на отрезке $NP$. Докажите, что $B_1$ лежит на отрезке $MQ$.
Ответ:
Решение:
Два треугольника пересекаются по шестиугольнику, который отсекает от них 6 маленьких треугольников. Радиусы вписанных окружностей этих шести треугольников равны. Докажите, что радиусы вписанных окружностей двух исходных треугольников также равны.
Ответ:
Решение: