Поиск задач

Железнодорожная компания получила заказ на перевозку определённого количества груза. В компании подсчитали, что если для перевозки выделить вагоны вместимостью 62 тонны, то один вагон останется недогруженным, а если выделить вагоны вместимостью 53 тонны, то понадобится на один вагон больше, чем если бы вагоны были по 62 тонны, но и при этом последний вагон опять будет недогружен. А вот если взять вагоны вместимостью 45 тонн, то все задействованные вагоны будут загружены полностью, но придётся увеличить число вагонов ещё на два. Определите массу груза.

Спортсмены студенческой команды должны были выйти на спортивный праздник прямоугольным строем по 45 человек в ряд. По прибытии выяснилось, что не все спортсмены взяли с собой нужную спортивную форму и, следовательно, они не смогут принять участие в празднике. Оставшихся спортсменов перестроили так, что число рядов стало на два меньше, а число спортсменов в каждом ряду стало на 48 больше числа новых рядов. Известно, что если бы все спортсмены приняли бы участие в празднике, то их можно было бы выстроить прямоугольным строем так, что число спортсменов в каждом ряду равнялось числу рядов. Сколько спортсменов планировали принять участие в спортивном празднике?

В состав автоматической линии по обработке корпусных деталей входило несколько одинаковых станков. Ежедневно линия обрабатывала $38880$ деталей. После модернизации производства все станки линии заменили на более производительные, но тоже одинаковые, а их число увеличилось на $3$. Автоматическая линия стала обрабатывать в день $44800$ деталей. Сколько деталей в день обрабатывал каждый станок первоначально?

Цех выпускает трансформаторы видов $A$ и $B$. На один трансформатор вида $A$ расходуется $5$ кг трансформаторного железа и $3$ кг проволоки, а на трансформатор вида $B$ — $3$ кг железа и $2$ кг проволоки. От реализации трансформатора вида $A$ прибыль составляет $12$ тысяч рублей, вида $B$ — $10$ тысяч рублей. Сменный фонд железа составляет $481$ кг, проволоки — $301$ кг. Сколько трансформаторов видов $A$ и $B$ нужно выпускать за смену, чтобы получить наибольшую прибыль от продажи изделий, если расход ресурсов не должен превышать выделенных на смену фондов? Чему будет равна при этом наибольшая прибыль?

Шарлотку испекли в прямоугольной форме и разрезали на кусочки вдоль и поперёк. В длину — три ряда и несколько рядов поперёк так, что верх стал похож на таблицу. В таблице три ряда и несколько строк. На каждый кусочек положили по несколько ягод малины, так что сумма всех ягод в первом ряду равна 62, во втором — 71, в третьем — 81, а сумма ягод в каждой строке больше 12, но меньше 15. На сколько кусков разрезали пирог?

Математик испёк прямоугольный пирог, украсив сверху полосками теста, вдоль и поперёк, так, что верх стал похож на таблицу. В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку такой таблицы он поместил по несколько вишен так, что сумма всех ягод в первом столбце равна 77, во втором — 91, в третьем — 101, а сумма вишен в каждой строке больше 12, но меньше 15. Сколько всего строк в этой таблице?

Ученики девятого, десятого и одиннадцатого классов надували шарики к празднику. Каждый девятиклассник работал 6 часов, десятиклассник — 12 часов, одиннадцатиклассник — 18 часов. При этом каждый девятиклассник надул 45 шариков, десятиклассник — 100 шариков, одиннадцатиклассник — 120 шариков. Все ученики вместе отработали 108 часов. Сколько шариков было приготовлено к празднику, если их общее количество оказалось максимально возможным?

Мешок Деда Мороза вмещает ровно 160 подарков для мальчиков или ровно 120 подарков для девочек. Подарки состоят из конфет. Если мешок заполнить таким образом, что суммарное число конфет в подарках для мальчиков было равно общему числу конфет в подарках для девочек, то всего в мешке будет 140 подарков и в них 4320 конфет. На сколько больше конфет было в подарке для девочек, чем в подарке для мальчиков?

В кружке «Неумелые руки» методом тяп-ляп изготовили несбалансированные рычажные весы с плечами разной длины и чашами с разным собственным весом. В результате четырех взвешиваний на этих весах были получены следующие «равновесия»:

• [слева 3 кг = справа дыня];
• [слева 5 кг = справа арбуз];
• [слева дыня = справа 5,5 кг];
• [слева арбуз = справа 10 кг].

Каков истинный вес (масса) дыни и арбуза?

Спутник связи движется по круговой орбите вокруг Земли (имеет форму шара) на высоте $H$, равной радиусу Земли $R=6372$ км, с периодом обращения $T=4$ ч и постоянной угловой скоростью $\omega=\frac{2\pi}{T}$.
Для того, чтобы в центре управления полетами (ЦУП) можно было получать сигнал от спутника (иметь окно для связи), он должен находиться выше плоскости горизонта ЦУПа. Определите количество окон для связи ЦУПа со спутником в течение суток и общую продолжительность этих окон, если траектория полета спутника проходит ровно над ЦУПом.

Для получения фотоснимков небесных тел используются космические зонды — автономные роботы, оснащенные ракетными двигателями, собственными энергетическими установками, системами радиосвязи и навигации, научными приборами. И все это управляется бортовыми компьютерами. Например, благодаря таким зондам успешно выполнена программа исследования Сатурна и его крупнейшего спутника Титана, удивительно похожего на Землю. При изучении одного из спутников Сатурна с радиусом орбиты $R\approx 1{,}2\cdot10^5$ км возникла нештатная ситуация: при пролете зонда сквозь плоскость колец Сатурна бортовая поворотная платформа с телекамерами была заклинена частицами этих колец. В результате смогли получить четкие снимки только одной стороны спутника. Для получения снимков обратной стороны спутника было принято решение продолжить полет зонда и встретить спутник в другой точке пространства, для чего пришлось скорректировать скорость движения зонда.
Рассмотрим упрощенную модель возникшей ситуации. Траекторию движения спутника (орбиту) вокруг Сатурна (точка $O$) считаем круговой с радиусом $R=1{,}2\cdot10^5$ км, скорость движения спутника постоянна и равна $V_T=3{,}27$ км/с. Проекцию зонда на плоскость орбиты назовем подзондовой точкой. Скорость движения подзондовой точки постоянна и равна $V_1=6$ км/с, а ее траекторию в плоскости орбиты условно считаем прямой, пересекающей окружность в точках $C$ и $D$. Согласно заложенной программе, съемка поверхности спутника зондом осуществляется в моменты их наибольшего сближения, которые соответствуют моментам пересечения траектории подзондовой точки с орбитой спутника (точки $C$ и $D$). Когда спутник (точка $S$) оказывается строго на прямой между центром Сатурна (точка $O$) и подзондовой точкой (точка $B$), запускается таймер ($t_0=0$). При этом спутник и подзондовая точка встречаются в точке $C$ через время $t=2\cdot10^4$ с. После съемки над точкой $C$ скорость зонда меняется так, чтобы над точкой $D$ оказаться одновременно со спутником для фотографирования его обратной стороны. Скорость подзондовой точки на участке $CD$ постоянна.
Определите расстояние между подзондовой точкой и спутником (считая его материальной точкой) в начальный момент времени $t_0$, а также скорость подзондовой точки $V_2$ на участке $CD$. В расчетах используйте приближенные значения скорости спутника и числа $\pi$ — округлите их до целых значений.

Астрономы обнаружили за планетой Сатурн новое небесное тело, движущееся по круговой орбите, для изучения которого был направлен научно-исследовательский зонд — автономный робот, оснащенный ракетными двигателями, собственной энергетической установкой, системами радиосвязи и навигации, научными приборами, фото- и видеотехникой. И все это управляется бортовыми компьютерами. Для изучения найденного объекта было принято решение произвести фотосъемку в двух точках его орбиты. После съемок в первой точке, потребовалось скорректировать скорость движения зонда, чтобы иметь возможность сделать еще один фотоснимок небесного тела в другой точке его орбиты.
Рассмотрим упрощенную модель возникшей ситуации. Считаем изучаемый объект (небесное тело) и исследовательский зонд материальными точками, небесное тело движется по круговой орбите с центром в точке $O$ и радиусом $R=1{,}2\cdot10^6$ км с постоянной угловой скоростью $\omega=0{,}25\cdot10^{-5}$ рад/с. Проекцию зонда на плоскость орбиты назовем подзондовой точкой. Скорость движения подзондовой точки постоянна и равна $V_1$, а ее траекторию в плоскости орбиты условно считаем прямой, пересекающей окружность в точках $P$ и $K$. Согласно заложенной программе, съемка небесного тела зондом осуществляется в моменты их наибольшего сближения, которые соответствуют моментам пересечения траектории подзондовой точки с орбитой тела (точки $P$ и $K$). Когда небесное тело (точка $T$) оказывается строго на прямой между точкой $O$ и подзондовой точкой (точка $Z$), запускается таймер ($t_0=0$). В точке $P$ небесное тело и подзондовая точка находятся в одно и тоже время, и осуществляется съемка, после чего скорость зонда меняется так, чтобы над точкой $K$ вновь оказаться одновременно с телом для его повторного фотографирования. Скорость подзондовой точки на участке $PK$ постоянна.
Определите расстояние между подзондовой точкой и изучаемым телом в начальный момент времени $t_0$, а также скорость подзондовой точки $V_2$ на участке $PK$, если центральный угол $POK$ равен углу $PZO$ и в полтора раза меньше центрального угла $POT$. В расчетах используйте приближенное значение числа $\pi$ — округлите его до целого значения.

Решите неравенство $\log_x\left(36-60x+25x^2\right)\lt 0$.

Решите неравенство $\left(\log_x^2(7x-6)-4\right)(\cos\pi x-1)\leqslant0$.

Для испытания новой модели моторного катера выбран участок берега моря, представленный на карте прямой линией. Вдоль этого участка берега проходит прямая трасса, на которой расположен командный пункт. В $2$ км от него в море по линии, перпендикулярной берегу, на рейде стоит корабль. Моторный катер движется в море так, что расстояние от наблюдателя на корабле до катера в любой момент времени совпадает с расстоянием от катера до движущегося по трассе автомобиля наблюдения. При этом в декартовой системе координат с началом в точке $O$ — командном пункте, осью абсцисс, направленной вдоль трассы по ходу движения автомобиля, и осью ординат, направленной на корабль, абсциссы координат автомобиля и катера в каждый момент времени совпадают.
Укажите координаты катера в этой системе координат через четверть часа с момента начала движения автомобиля от командного пункта, если он двигался все время в одном направлении с постоянной скоростью $40$ км/ч.

Вне прямоугольного треугольника $ABC$ на его катетах $AC$ и $BC$ построены квадраты $ACDE$ и $BCFG$. Продолжение медианы $CM$ треугольника $ABC$ пересекает прямую $DF$ в точке $N$. Найдите длину отрезка $CN$, если длины катетов равны 1 и 4.

На параболе $y=x^2$ даны две точки: $A$ с абсциссой $-3$ и $B$ с абсциссой $5$. Точка $C$ лежит на дуге $AB$. Найдите максимальную возможную площадь треугольника $ABC$.

Найдите наименьшую длину отрезка $AB$, если точка $A$ принадлежит множеству, задаваемому уравнением $y^2-3x^2-2xy-9-12x=0$, а точка $B$ — множеству, задаваемому уравнением $x^2-8y+23+6x+y^2=0$.

Для производственного процесса необходимо изготовить лекало из металлической пластины-заготовки, которая имеет форму прямоугольной трапеции. В заготовке имеется технологическое отверстие, которое можно принять за точку, расположенную в 2 см от меньшей боковой стороны, имеющей длину 4,5 см, и в 0,5 см от большего основания трапеции. Длины оснований трапеции равны 1,5 см и 6 см. Требуется провести на пластине кривую линию разреза так, чтобы расстояние от любой точки этой линии до большего основания трапеции было бы равно расстоянию от этой точки до технологического отверстия. Определите, в каком отношении линия разреза делит каждую из боковых сторон пластины.

За время освоения космического пространства на различных орбитах скопились сотни тысяч объектов космического мусора. Дальнейшее использование космического пространства может быть существенно осложнено возрастающей угрозой столкновения с этим мусором. Согласно результатам исследований удаление $3-5$ крупных объектов в год с низких околоземных орбит позволяет предотвратить цепную реакцию роста объектов космического мусора в будущем. На данный момент работающей технологией по утилизации космического мусора является увод старых спутников. Это можно сделать с помощью аппаратов-захватчиков, которые буксируют мусор на орбиты для захоронения.
Рассмотрим плоскость орбиты захоронения. Пусть крупный фрагмент мусора движется в этой плоскости по эллиптической орбите c большой полуосью, равной 9000 км. (Для удобства вычислений все расчеты будем производить в тысячах километров.) Пусть уравнение траектории движения обломка задано следующим образом: $81x^2+65(y-4)^2=5265$. На некотором удалении от указанной орбиты находится космическая научная станция, уравнение движения которой $36x^2+20(y-4)^2=720$. С нее стартует летательный аппарат, который движется по переходной эллиптической траектории: $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{(y-y_0)^2}{z^2}=1$. Он должен совершить манёвр по переходу с одной орбиты на другую и плавно подойти к обломку для изменения его скорости и направления движения.
Известно, что скорость движения по эллиптической орбите вида $\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{(y-c)^2}{a^2}=1$, $a\geqslant b$, $c=\sqrt{a^2-b^2}$, с большой полуосью, равной $a$, вычисляется по формуле \[ V=\sqrt{\mu\left(\frac2r-\frac1a\right)}, \] $\mu\approx3{,}9\cdot10^5$ км$^3$/с$^2$ — гравитационный потенциал Земли, $r$ — расстояние от начала координат, расположенного в одном из фокусов эллипса, до движущейся точки.
Найдите максимальную скорость движения осколков космического мусора на указанной орбите. Определите параметры $z$, $y_0$, если известно, что переходная траектория должна проходить через точку, в которой скорость движения обломков максимальна и проходить через точку орбиты научной станции, в которой скорость движения станции минимальна. Выпишите уравнение переходной орбиты.