Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 561
Марк Уотни испытывает на прочность новый купол, предназначенный для экспедиции на Марс. Купол выполнен в форме полусферы радиуса 20 м. Марк поворачивается на север и стреляет под углом $45^\circ$ к земле, потом поворачивается на юг и тоже стреляет под углом $45^\circ$ (см. рис). Какие значения может принимать $|P_1P_2|$ — расстояние между точками попадания?
Ответ:
Решение:
На диаметре $AB$ выбрана точка $M$. Точки $C$ и $D$, лежащие на окружности по одну сторону от $AB$, выбраны так, что $\angle AMC=\angle BMD=30^\circ$. Найдите диаметр окружности, если известно, что $CD=12$.
Ответ:
Решение:
В окружности радиуса $5\sqrt2$ проведены взаимно перпендикулярные хорды, которые точкой пересечения делятся в отношении $6:1$ и $2:3$. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения хорд.
Ответ:
Решение:
Через концы дуги $\overset{\frown}{AB}$, угловая величина которой равна $60^\circ$, проведены параллельные хорды $BC$ и $AD$, причём длина $BC$ в четыре раза меньше длины $AD$. Хорды $AB$ и $CD$ продолжены до пересечения в точке $E$. Найдите площадь треугольника $AED$, если известно, что $|AC|=30$.
Ответ:
Решение:
Продолжение биссектрисы $CD$ треугольника $ABC$ пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке $E$. Окружность, описанная около треугольника $ADE$, пересекает прямую $AC$ в точке $F$, отличной от $A$. Найдите $BC$, если $AC=b$, $AF=a$.
Ответ:
Решение:
В окружность радиуса 3 вписаны треугольники $ABC$ и $AMN$. При этом прямая $AM$ проходит через середину $E$ отрезка $BC$, а прямая $BN$ — через середину $F$ отрезка $AC$. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AM:AE=2:1$ и $BN:BF=17:13$.
Ответ:
Решение:
Города $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ лежат на одной окружности и попарно соединены прямолинейными дорогами. Два велосипедиста выехали одновременно из $A$ в $D$ и из $C$ в $E$, повстречавшись в пути. Затем они выехали одновременно из $D$ в $B$ и из $E$ в $C$, опять повстречавшись в пути. Наконец, они выехали одновременно из $B$ в $E$ и из $C$ в $B$, прибыв в пункты назначения одновременно. Найдите $BC$, если $AE=2$ км и $CD=4$ км, а скорость каждого велосипедиста постоянна.
Ответ:
Решение:
Продолжение биссектрисы $AD$ треугольника $ABC$ пересекает окружность, описанную вокруг этого треугольника, в точке $E$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BC=a$, $\angle BAC=\alpha$, $AE=d$.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством \[ \arcsin(2x)+\arccos(2x)\geqslant\frac{\pi}{4}\cdot\left(y^2-2\right). \]
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством \[\bigl||x|-6\bigr|+\bigl||y|-7\bigr|\leqslant 10.\]
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством \[\sqrt{\arcsin x}\leqslant\sqrt{\arccos y}\,.\]
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой \[ \begin{cases} 3^{\sqrt x}-3^{2\sqrt y}\geqslant 2\sqrt y-\sqrt x,\\ x^2+y^2\leqslant 9+2xy. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости изобразите множество точек $(a,b)$, для каждой из которой область определения функции \[ f(x)=\log_{\frac{2a-b-x}{2a-b+x}}\left(\dfrac{x-a-b}{x+a+b}\right) \] не содержит ни одной точки из отрезка $[1;2]$.
Ответ:
Решение:
Робот-маляр пытается покрасить стену. Робот представляет из себя конечность из трёх деталей. Штанга $AB$ длиной $l$ перпендикулярна полу и может ездить от точки $a$ до точки $b$ (расстояние между $a$ и $b$ равно $2l$). Вторая часть конечности, штанга $BC$ длиной $2l$, свободно поворачивается относительно шарнира $B$. По штанге $BC$ ползает красящая насадка $K$.
Какую площадь стены сможет покрасить этот механизм?
Какую площадь стены сможет покрасить этот механизм?
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, угол $A$ — прямой, $AC=AD$. На стороне $AB$ выбрана точка $M$ так, что $MC$ пересекает $BD$ в точке $N$, $BM=BN=AD$. Найдите площадь четырехугольника $ABCD$, если $DC=6$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, угол $A$ — прямой, $AC=AD$. На стороне $AB$ выбрана точка $M$ так, что $MC$ пересекает $BD$ в точке $N$, $BM=BN=AD$. Найдите площадь четырехугольника $ABCD$, если $DC=12$.
Ответ:
Решение:
Последовательность выпуклых четырёхугольников \[P_1Q_1R_1S_1,\quad P_2Q_2R_2S_2,\quad\ldots,\quad P_{2012}Q_{2012}R_{2012}S_{2012}\] такова, что вершины четырёхугольника $P_{n+1}Q_{n+1}R_{n+1}S_{n+1}$ являются серединами сторон четырёхугольника $P_nQ_nR_nS_n$ ($n=1,2,\ldots,2011$).
а) Может ли отношение периметров четырёхугольников $P_{2012}Q_{2012}R_{2012}S_{2012}$ и $P_1Q_1R_1S_1$ равняться $32\cdot10^{-303}$?
б) Найдите все возможные значения этого отношения.
а) Может ли отношение периметров четырёхугольников $P_{2012}Q_{2012}R_{2012}S_{2012}$ и $P_1Q_1R_1S_1$ равняться $32\cdot10^{-303}$?
б) Найдите все возможные значения этого отношения.
Ответ:
Решение:
В правильном семиугольнике провели самые длинные диагонали. Получившуюся семиугольную звёздочку вырезали и раскрасили, будто это ромашка (см. рис.). Потом белые лепестки согнули у основания по пунктирным линиям так, чтобы они накрывали центр. Найдите площадь множества всех точек, которые накрываются всеми лепестками одновременно. В ответе укажите отношение этой площади к площади изначального семиугольника.
Ответ:
Решение:
Вокруг равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $BC=a$ и высотой $AH=h$ описана окружность $\omega_1$. В угол $BAC$ вписана окружность $\omega_2$, касающаяся окружности $\omega_1$ изнутри и касающаяся сторон угла в точках $P$ и $Q$. Определите, в каком отношении отрезок $PQ$ делит высоту $AH$.
Ответ:
Решение:
Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен $2/\sqrt5$. Через середины одного катета и гипотенузы провели окружность, касающуюся другого катета. Найдите отношение части гипотенузы, лежащей внутри получившегося круга, ко всей гипотенузе.
Ответ:
Решение: