Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 306
Найти наибольшее значение функции $y=24\pi x/(9\pi^2+16x^2)$ на множестве решений уравнения $\sin x\cdot\cos 2x-2\cos^3 x+\cos 2x-\sin x+2\cos x=1$.
Ответ:
Решение:
Найти на интервале $(0;2\pi)$ наибольшее решение уравнения \[ (\sin x+\sin 2x+\sin 3x)^3=\sin^3 x+\sin^3 2x+\sin^3 3x. \]
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[ \dfrac{1}{\sin x}+\dfrac{1}{\sin2x}+\dfrac{1}{\sin3x}=\dfrac{1}{\sin x+\sin2x+\sin3x} \] при условии, что $\sin x\gt 0$.
Ответ:
Решение:
Сумма $b_5+b_6+\ldots+b_{2019}$ членов геометрической прогрессии $\{b_n\}$, $b_n\gt 0$ равна $18$, а их произведение $b_5\cdot b_6\cdot\ldots\cdot b_{2019}$ равно $3^{2015}$. Найти сумму обратных величин $\dfrac{1}{b_5}+\dfrac{1}{b_6}+\ldots+\dfrac{1}{b_{2019}}$.
Ответ:
Решение:
Скорость движения тела на прямой изменяется по закону $v(t)=A|\sin(\alpha t)|$, $t\geqslant0$ с некоторыми константами $A\gt 0$ и $0\lt \alpha\lt 0{,}2$. Известно, что за каждые $20$ сек. точка проходит путь $2$ м. Какой путь пройдет тело спустя $65$ сек. после начала движения?
Ответ:
Решение:
Область $G$ на плоскости, ограниченная двумя параболами $y=-2x^2+x$ и $y=x^2+px+q$, имеет площадь $112$. Вертикальная прямая $x=2$ разбивает ее на две равновеликие части. Найдите $p$ и $q$.
Ответ:
Решение:
Плоскости $P$ и $Q$, параллельные основанию правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, пересекают ребро $SA$ пирамиды в точках $M$ и $N$. Длины отрезков $SM$, $SN$ и $SA$ являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии со знаменателем $q=3$. Найти двугранный угол при основании пирамиды, если известно, что в усеченную пирамиду с плоскостями оснований $P$ и $Q$ можно вписать шар.
Ответ:
Решение:
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды наклонено к плоскости ее основания под углом $45^\circ$. В пирамиду вписан куб так, что четыре его вершины лежат на основании пирамиды, а другие четыре — на ее боковых гранях. Найти отношение объемов куба и пирамиды.
Ответ:
Решение:
Точки $M$, $N$, $P$ — основания высот, опущенных из вершин треугольника $ABC$ с углами $45^\circ$, $60^\circ$, $75^\circ$ на его стороны. Найти отношение площадей треугольников $MNP$ и $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AD$ и $BE$, пересекающиеся в точке $O$. Угол $DOC$ равен $58^\circ$. Найти углы треугольника $ABC$, если известно, что точки $D$, $O$, $E$ и $C$ лежат на одной окружности.
Ответ:
Решение:
$AM$ и $BN$ — биссектрисы треугольника $ABC$. На прямой $MN$ расположена точка $P$, удаленная от прямых $AB$ и $BC$ на расстояния $4$ и $1$ соответственно. Найти расстояние от точки $P$ до прямой $AC$.
Ответ:
Решение:
Угол при вершине $B$ треугольника $ABC$ равен $75^\circ$. На высоте $BH$ выбрана точка $D$ так, что угол $ADC$ равен $105^\circ$. Отношение $AD:BC=1:\sqrt{3}$. Найдите угол при вершине $C$ треугольника.
Ответ:
Решение:
Известно, что в трапецию с углом $30^\circ$ при основании можно вписать окружность и около нее можно описать окружность. Найти отношение площади трапеции к площади вписанного в нее круга. Найти отношение площади трапеции к площади описанного около нее круга.
Ответ:
Решение:
Длина стороны $AD$ четырехугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равна $5$. Точка $M$ делит эту сторону в отношении $AM:MD=1:4$, а прямые $MC$ и $MB$ параллельны сторонам $AB$ и $CD$ соответственно. Найти длину стороны $BC$ четырехугольника.
Ответ:
Решение:
Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ окружности являются вершинами четырехугольника $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны. Длины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ четырехугольника равны $\sqrt{21}$, $3$, $2$ и $4$ соответственно. Найдите площадь четырехугольника $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Около выпуклого четырехугольника $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны и по длине равны 5 и 6, можно описать окружность с центром в точке $O$. Найти площадь четырехугольника $ABCO$.
Ответ:
Решение:
Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность и его диагонали пересекаются в точке $P$. Точки $K$, $L$ и $M$ — середины сторон $AB$, $BC$ и $CD$ соответственно. Радиус окружности, описанной около треугольника $KLP$, равен 1. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $LMP$.
Ответ:
Решение:
Три стороны выпуклого четырехугольника имеют длины $2$, $4$ и $5$. Известно, что существует круг, пересекающий все стороны четырехугольника по хордам, имеющим одинаковые длины. Найти наибольшее возможное значение длины четвертой стороны.
Ответ:
Решение:
Известно, что сумма плоских углов при каждой вершине треугольной пирамиды равна $180^\circ$, а периметр основания равен $p$. Найти сумму длин всех ребер пирамиды.
Ответ:
Решение:
Плоскость $P$ пересекает боковые ребра $SA$, $SB$, $SC$ треугольной пирамиды $SABC$ в точках $M$, $N$, $K$ соответственно и образует угол $45^\circ$ с боковой гранью $SBC$. Найти объем пирамиды $SABC$, если произведение ее ребер $SA\cdot SB\cdot SC=5\sqrt{15}$, а пирамида $SMNK$ правильная.
Ответ:
Решение: