Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 385
В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ $AB$ параллельно $DE$, $CD=DE$, $CE$ перпендикулярно $BC$ и $AD$. Докажите, что прямая, проходящая через $A$ параллельно $CD$, прямая, проходящая через $B$ параллельно $CE$, и прямая, проходящая через $E$ параллельно $BC$, пересекаются в одной точке.
Ответ:
Решение:
$BM$ — медиана остроугольного треугольника $ABC$. Биссектриса угла $C$ пересекает прямую, проходящую через $A$ параллельно $BC$, в точке $X$. Оказалось, что $BM=MX$. Докажите, что $BC\gt AC$.
Ответ:
Решение:
На продолжении основания $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ за вершину $A$ выбрана точка $K$, а на боковой стороне $AB$ — точка $L$ так, что $KL=LC$. Оказалось, что $KA=LB$. Найдите угол $ABC$.
Ответ:
Решение:
На боковых сторонах $AB$ и $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $PQ\parallel BC$. На биссектрисах треугольников $ABC$ и $APQ$, исходящих из вершин $B$ и $Q$, выбраны точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $XY\parallel BC$. Докажите, что $PX=CY$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ биссектриса угла $B$ проходит через середину стороны $AD$, а $\angle C=\angle A+\angle D$. Найдите угол $ACD$.
Ответ:
Решение:
На биссектрисе $AL$ треугольника $ABC$ выбрана точка $D$. Известно, что $\angle BAC=2\alpha$, $\angle ADC=3\alpha$, $\angle ACB=4\alpha$. Докажите, что $BC+CD=AB$.
Ответ:
Решение:
Точка $N$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC$, в котором $\angle ACB=60^\circ$. Точка $M$ на стороне $AC$ такова, что $AM=BN$. Точка $K$ — середина отрезка $BM$. Докажите, что $AK=KC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) на катете $BC$ отмечены точки $K$ и $L$ такие, что \[\angle CAK=\angle KAL=\angle LAB.\] На гипотенузе $AB$ отмечена точка $M$ такая, что $ML=KL$. Докажите, что перпендикуляр из точки $C$ на прямую $AK$ не делит отрезок $ML$ пополам.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина стороны $AC$ равностороннего треугольника $ABC$. Точки $P$ и $R$ на отрезках $AM$ и $BC$ соответственно выбраны так, что $AP=BR$. Найдите сумму углов $ARM$, $PBM$ и $BMR$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ диагонали $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $X$. Оказалось, что $ABCX$ — параллелограмм и $BD=CX$; $BE=AX$. Докажите, что $AE=CD$.
Ответ:
Решение:
Дан равносторонний треугольник $ABC$. Точка $D$ выбрана на продолжении стороны $AB$ за точку $A$, точка $E$ — на продолжении $BC$ за точку $C$, а точка $F$ — на продолжении $AC$ за точку $C$ так, что $CF=AD$ и $AC+EF=DE$. Найдите угол $BDE$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $A$ и $C$ равны $100^\circ$. На сторонах $AB$ и $BC$ выбраны точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $AX=CY$. Оказалось, что прямая $YD$ параллельна биссектрисе угла $ABC$. Найдите угол $AXY$.
Ответ:
Решение:
Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равны и пересекаются в точке $K$. Внутри треугольников $AKD$ и $BKC$ выбрали точки $P$ и $Q$ соответственно так, что \[ \angle KAP=\angle KDP=\angle KBQ=\angle KCQ. \] Докажите, что прямая $PQ$ параллельна биссектрисе угла $AKD$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, в котором $2\angle B-\angle A=180^\circ$. Внутри него выбрана точка $K$, а на его стороне $AB$ — точка $L\neq B$ так, что $\angle ACK=2\angle BCK$ и $BK=KL$. Докажите, что $CK+AL=AC$.
Ответ:
Решение:
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ выбрана точка $E$. Биссектриса $AL$ пересекает отрезок $BE$ в точке $X$. Оказалось, что $AX=XE$ и $AL=BX$. Чему равно отношение углов $A$ и $B$ треугольника?
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали равны, $\angle ADB=\angle ACD$, $CD=3$, $AD=1$ и $\angle BAD=150^\circ$. Найдите $BC$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle B=60^\circ$. На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ отмечена точка $D$, а на стороне $BC$ — точка $E$, причем $AD=CE$. На продолжении отрезка $AE$ за точку $E$ нашлась такая точка $F$, что $AC=CF$ и $DE=EF$. Найдите углы треугольника $DEF$ (укажите все возможные варианты).
Ответ:
Решение:
Даны два ненулевых числа. Если к каждому из них прибавить единицу, а также из каждого из них вычесть единицу, то сумма обратных величин четырёх полученных чисел будет равна 0. Какое число может получиться, если из суммы исходных чисел вычесть сумму их обратных величин? Найдите все возможности.
Ответ:
Решение:
Даны положительные числа $a$ и $b$, удовлетворяющие условию \[a^3+ab-b^3=(a+b)^2.\] Чему может быть равна разность $a-b$?
Ответ:
Решение:
Квантовый компьютер расходует 1 кВт/ч электроэнергии на каждую сделанную им операцию умножения или сложения. При этом он умеет хранить результаты промежуточных действий. Докажите, что для любых пяти хранящихся в компьютере чисел $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ можно найти сумму \[ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de,\] затратив не более 10 кВт/ч.
Ответ:
Решение: