Поиск задач

Дан треугольник $ABC$ с углом $B$, равным $60^\circ$. На продолжениях сторон $AB$, $CB$ и медианы $BM$ за точку $B$ взяты точки $K$, $L$, $N$ соответственно так, что $BK:AB=3:1$, $BL:CB=5:1$, $BN:BM=4:1$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, если площадь треугольника $KLN$ равна $6\sqrt3$, а расстояние от точки $M$ до точки касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности со стороной $AC$ равно $1$.

Для улучшения жилищных условий горожан в некоторых городах реализуется программа реновации — замена не подлежащего сохранению жилищного фонда путем его сноса и капитального строительства на высвобождаемой территории. Как правило, разбор старых домов и расчистка площадки под новое строительство происходит на ограниченной территории. Поэтому нужна техника (вращающиеся экскаваторы), которая могла бы расчистить наибольшую площадь с наименьшим количеством перемещений.
На рисунке изображена схема рабочей зоны и схема перемещений экскаватора. Встав в начальную точку $E$, экскаватор первым делом очищает ближнюю к себе площадку (на ней в основном находится металлический лом). Эта площадка представляет из себя сектор окружности, ограниченный большой дугой $FG$ окружности с центром в точке $E$ и радиусом $2\sqrt2$ м, а также отрезками ее радиусов $EF$ и $EG$. Затем экскаватор перемещается в точку $O$ и очищает дальнюю от себя площадку (на ней в основном находится кирпичный лом). Эта площадка с внешней стороны ограничена большой дугой $CD$ окружности c центром в точке $O$ и радиусом 6 м, отрезками $CG$ и $FD$ (точки $F$ и $G$ находятся на соответствующих радиусах $OC$ и $OD$), а с внутренней стороны — большой дугой $FG$ первой окружности с центром в точке $E$.
Определите площадь под кирпичным ломом (без металлических остатков), если точка $O$ находится в 2 метрах от точки $E$ по направлению к центру металлического завала, угол $EOD$ равен $45^\circ$.

В треугольнике $MNK$ на стороне $MN$ взята точка $P$ так, что $MP:PN=2:3$, а на стороне $NK$ отмечена точка $Q$ так, что $NQ:QK=4:5$. Прямые $KP$, $MQ$ пересекаются в точке $O$. Найти площадь треугольника $KOQ$, если известно, что площадь треугольника $MOP$ равна 48.

Через середину $M$ диагонали $AC$ произвольного выпуклого четырехугольника $ABCD$ проведена прямая $EF$ параллельная $BD$, пересекающая стороны $AB$ и $AD$. Найти площадь четырехугольника $ABCD$, если известно, что площадь четырехугольника $BCDF$ равна 5.

Даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$, радиусы которых 1 и $\sqrt2$, соответственно. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$, причем расстояние между центрами $O_1$ и $O_2$ равно 2. Найти длину хорды $AC$ окружности $\omega_2$, середина которой лежит на окружности $\omega_1$. В ответ запишите квадрат длины хорды $AC$.

В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ делит пополам сторону $CD$, биссектриса угла $ABC$ пересекает в точке $O$ отрезок $AE$. Найдите площадь четырёхугольника $OBCE$, зная, что $AD=12$, $DE=4$, $\angle ABO=60^\circ$.

На диагонали $AC$ ромба $ABCD$ выбрана точка $K$, удаленная от прямых $AB$ и $BC$ на расстояния $8$ и $2$ соответственно. Радиус вписанной в треугольник $ABC$ окружности равен $3$. Найдите сторону ромба $ABCD$ и радиус окружности, вписанной в этот ромб.

Внутри ромба $ABCD$ построен равносторонний треугольник $AMB$. Найдите угол $CMD$.

Точки $E$ и $K$ — соответственно середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$. Прямая $BE$ пересекается с прямой $CK$ в точке $O$. Найти $AO$, если сторона квадрата равна 1.

Точки $E$ и $K$ — соответственно середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$. Прямая $BE$ пересекается с прямой $CK$ в точке $O$. Докажите, что вокруг четырехугольника $ABOK$ можно описать окружность. Найти радиус этой окружности, если сторона квадрата равна 1.

Дана трапеция $MKPE$ с основаниями $ME$ и $KP$. $EA$ — расстояние от точки $E$ до прямой $MK$. Найдите тангенс угла $AEM$, если $MK=15$, $KP=11$, $PE=13$, $ME=25$. Ответ запишите в виде десятичной дроби.

Дана трапеция $MKPE$ с основаниями $ME$ и $KP$. $MA$ — расстояние от точки $M$ до прямой $PE$. Найдите тангенс угла $AME$, если $MK=17$, $KP=8$, $PE=10$, $ME=29$. Ответ запишите в виде десятичной дроби.

В трапеции $ABCD$ точки $K$, $N$, $M$ принадлежат отрезку $BC$, $BK=KN=MC=1$, а точки $L$, $O$, $P$, $Q$ принадлежат отрезку $AD$, $AL=LO=PO=QP=QD=3$. Прямые $BC$ и $AD$ параллельны. Точка $K$ соединена с точками $A$, $L$, $O$, $P$, $Q$, $D$. Точка $L$ соединена с точками $B$, $K$, $N$, $M$, $C$. Докажите, что точки пересечения прямых $BL$ и $AK$, $KO$ и $LN$, $KQ$ и $LC$ лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка этой прямой между боковыми сторонами трапеции.

Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом её основании. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 12 см, а длины биссектрис — 15 см и 13 см.

Площадь трапеции равна 24. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции, если диагонали трапеции равны 6 и 10.

В прямоугольной трапеции $ABCD$ ($AD\parallel BC$) угол $A$ равен $60^\circ$. На стороне $CD$ выбирается точка $K$ так, что $\angle BKC=30^\circ$, при этом $AD=CD$. Прямая $BN$ пересекает сторону $CD$ в точке $N$, а отрезки $AK$ и $BN$ пересекаются в точке $P$. Найдите величину угла $DPB$ в градусах, если $KN:ND=2\sin\angle BDC$.

На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ отмечены точки $E$ и $F$ такие, что $AF=AC$ и $BE=BC$. Найдите угол $ECF$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $CD$ — высота. Найдите длину радиуса окружности, вписанной в треугольник $ABC$, если длины радиусов окружностей, вписанных в треугольники $ACD$ и $BCD$, равны 6 и 8 соответственно.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CL$. Известно, что $LK=12$ и $\angle ABC=60^\circ$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Найдите промежуток изменения коэффициента подобия треугольников с длинами сторон $x$, $y$, $z$ и $y$, $z$, $p$. В ответе укажите ближайшие друг к другу целые числа, между которыми находится найденный промежуток.