Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
Сумма пяти подряд идущих двузначных чисел является полным квадратом. Найдите все возможные значения суммы исходных чисел.
Ответ:
Решение:
Найдите натуральное число, которое ровно в $25$ раз меньше, чем сумма всех натуральных чисел, меньших его и делящихся на $31$.
Ответ:
Решение:
Найдите число $\overline{ab}$, если известно, что число \[ \underbrace{2011\ldots2011}_{101\text{ раз}}a2011b\underbrace{2011\ldots2011}_{101\text{ раз}} \] делится на $99$.
Ответ:
Решение:
Какую наименьшую сумму могут иметь девять последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на $1234567$?
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное $a$ такое, что выражение $a(a+16)(a+32)(a+48)(a+64)$ делится на $10^7$.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное $a$ такое, что выражение $a(a+12)(a+24)(a+36)(a+48)$ делится на $10^6$.
Ответ:
Решение:
Вася строит башни из кубиков. Когда он построил $N$ башен по 22 кубика, у него осталось 3 кубика. После чего он из всех своих кубиков построил $N-1$ башню так, что во всех башнях кубиков оказалось поровну. Какое наибольшее количество кубиков могло быть у Васи, если известно, что их меньше 300?
Ответ:
Решение:
Какую наименьшую сумму могут иметь $11$ последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на $20\,222\,023$?
Ответ:
Решение:
На $23$ карточках записаны цифры. Из этих карточек сначала сложили $23$-значное число $A$, а затем, переложив карточки в другом порядке — $23$-значное число $B$. Оказалось, что разность $(A-B)$ — это $22$-значное число, составленное из одинаковых цифр. На какую цифру оканчивается число $B$, если число $A$ оканчивается на цифру $5$?
Ответ:
Решение:
На доске написано число $23\,456\,789$. Петя заменил в нём $5$ цифр: $4$ последние цифры и ещё какую-то. В итоге получилось восьмизначное число, делящееся на $48$, притом минимально возможное. Что это за число?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Миша выписал на доску $7$ подряд идущих натуральных чисел и сложил их. Оказалось, что эта сумма заканчивается на $1230123$. Какое наименьшее число могло быть среди выписанных на доске?
Ответ:
Решение:
Дано число $5300\ldots0035$ (100 нулей). Требуется заменить некоторые два нуля на ненулевые цифры так, чтобы после замены получилось число, делящееся на 495. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
Дана последовательность $y_n=n(n+1)$. Известно, что разность двух членов этой последовательности с номерами $k$ и $l$ ($l\lt 125\lt k$) делится на $3^{11}$. Найдите наименьшее возможное значение суммы $l+k$.
Ответ:
Решение:
На доске написано число $987\,656\,789$. Вася заменил в нём какие-то $4$ цифры так, что получилось минимально возможное девятизначное число, делящееся на $275$. Найдите это число.
Ответ:
Решение:
В окружность вписан правильный $24000$-угольник $A_1A_2\ldots A_{24000}$. Вася начинает движение из точки $A_1$ и обходит окружность в направлении увеличения номеров вершин несколько раз. В процессе обхода он вычёркивает эти вершины: во время первого обхода вычёркиваются все $A_k$ с чётными номерами, во время второго — все те из оставшихся, номера которых делятся на три, на третий обход вычёркиваются те вершины, номера которых делятся на три, на третий обход вычёркиваются те вершины, номера которых делятся на четыре и так далее. Найдите номер вершины, которую Вася вычеркнет $16003$-ей.
Ответ:
Решение:
Дана последовательность $x_n=n(n+1)$. Известно, что разность двух членов этой последовательности с номерами $k$ и $l$ ($l\lt 350\lt k$) делится на $5^9$. Найдите наименьшее возможное значение суммы $l+k$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество различных значений функции $f(x)=[x]+[2x]+[3x]+[4x]+\left[\dfrac{5x}{3}\right]$ на отрезке $x\in[0;100]$.
Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $[-1{,}7]=-2$.
Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $[-1{,}7]=-2$.
Ответ:
Решение: