Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 198
В $1^{\text{а}}$ классе каждого ребёнка попросили написать два числа: количество его одноклассников и количество его одноклассниц (именно в таком порядке; сам себя ребёнок не считает). Каждый ребёнок одно число написал правильно, а в другом ошибся ровно на $2$. Среди ответов были получены такие: $(13,11)$, $(17,11)$, $(14,14)$. Сколько мальчиков и сколько девочек в классе?
Ответ:
Решение:
В городе $200$ жителей. Часть из них — рыцари, которые всегда говорят правду, остальные — лжецы, которые всегда лгут. Каждый горожанин живёт в одном из четырёх кварталов (А, Б, В и Г). Каждому задали четыре вопроса: «Вы живёте в квартале А?», «Вы живёте в квартале Б?», «Вы живёте в квартале В?», «Вы живёте в квартале Г?». На первый вопрос утвердительно ответили $105$ жителей, на второй — $45$, на третий — $85$ и на четвёртый — $65$. В каком квартале лжецов живёт больше, чем рыцарей, и на сколько?
Ответ:
Решение:
$n$ грибников ходили в лес и принесли суммарно $200$ грибов (возможно, некоторые из грибников не принесли домой ни одного гриба). Мальчик Петя, узнав об этом, заявил: «Какие-то двое из них обязательно принесли одинаковое количество грибов!» При каком наименьшем $n$ мальчик Петя наверняка окажется прав? Не забудьте обосновать свой ответ.
Ответ:
Решение:
У Пети имеется $50$ шариков трёх цветов: красные, синие и зелёные. Известно, что среди любых $34$ шариков есть хотя бы один красный; среди любых $35$ — синий; среди любых $36$ — зелёный. Сколько шариков зелёного цвета может быть у Пети?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 5x^2-14xy+10y^2=17,\\ 4x^2-10xy+6y^2=8. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 26x^2+42xy+17y^2=10,\\ 10x^2+18xy+8y^2=6. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите уравнение $\arcsin\dfrac{x\sqrt{11}}{2\sqrt{21}}+\arcsin\dfrac{x\sqrt{11}}{4\sqrt{21}}=\arcsin\dfrac{5x\sqrt{11}}{8\sqrt{21}}$.
Ответ:
Решение:
Решить систему: \[ \begin{cases} \operatorname{tg}^2x+\operatorname{ctg}^2x=2\sin^2y,\\ \sin^2y+\cos^2z=1. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Функция $f$ такова, что $f(2x-3y)-f(x+y)=-2x+8y$ для всех $x$, $y$. Найдите все возможные значения выражения $\dfrac{f(5t)-f(t)}{f(4t)-f(3t)}$.
Ответ:
Решение:
Функция $f(x)$ для всех $x$ удовлетворяет равенству \[ f(x+3)=x+2-f(x), \] а при $x\in[-3;0)$ задаётся формулой $f(x)=x^2$. Найдите $f(2012)$.
Ответ:
Решение:
Найдите все периодические функции $y=f(x)$, удовлетворяющие уравнению \[ f(x)-0{,}5f(x-\pi)=\sin x. \]
Ответ:
Решение:
Функция $g$ определена на целых числах и принимает целые значения, причём $g(x)\neq x$ для каждого целого $x$. Назовём число $a$ красивым, если для любого целого числа $x$ выполнено $g(x)=g(a-x)$. Может ли каждое из чисел $739$ и $741$ быть красивым?
Ответ:
Решение:
Функция $F$ определена на множестве троек целых чисел и принимает действительные значения. Известно, что для любых четырёх целых чисел $a$, $b$, $c$ и $n$ выполняются равенства $F(na,nb,nc)=n\cdot F(a,b,c)$, $F(a+n,b+n,c+n)=F(a,b,c)+n$, $F(a,b,c)=F(c,b,a)$. Найдите $F(58,59,60)$.
Ответ:
Решение:
Найдите все функции $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, для которых существует такое вещественное число $a$, что при всех вещественных $x$, $y$ выполнено равенство\[2f(xy+3)=f(x)f(y)-f(x)-2y+a.\]
Ответ:
Решение:
Функция $f$, определенная на действительных числах, принимает действительные значения. Известно, что для любых действительных $x$ и $y$ выполнено равенство\[f(x)f(y)=f(7x-y).\]Найдите все такие функции $f$.
Ответ:
Решение:
Найдите все функции $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, удовлетворяющие при всех $x,y\in\mathbb{R}$ уравнению\[2(f(x)+f(y))=\max\left\{2f(x+y);\ x-y;\ y-x\right\}.\]
Ответ:
Решение: